5.2. Некоторые особенности эпюр перерезывающих сил и изгибающихмоментов
1. Согласно (5.2)
,
а это означает, что при переходеQ
через нуль, при смене знака с плюса
на минус (при возрастании координатыx для правой декартовой
прямоугольной системы координат)
.
При смене знака с минуса на плюс
.
Участок балки, на которомQ
0, M= const.
2. Согласно (5.3)
,
на участках балки, гдеq
0, перерезывающая силаQ= const, эпюраQ ограничена прямыми,
параллельными оси абсцисс.
ЭпюраM на таком участке изобразится
наклонными прямыми.
3. На участках балки, загруженных сплошной равномерно распределенной нагрузкой, эпюра Qпредставляет собой прямую, наклоненную к оси абсцисс, а эпюраM- дугу квадратной параболы, имеющую выпуклость вверх, еслиqнаправлена сверху вниз, и имеющую выпуклость вниз, еслиqнаправлена снизу вверх (правило зонтика).
4. В сечениях под сосредоточенными силами, включая и опорные реакции, в эпюре Q имеется скачок на величину силы, а в эпюреM - резкое изменение угла наклона (излом) смежных прямых.
5. На концевой шарнирной опоре перерезывающая сила равна реакции опоры, а изгибающий момент равен нулю, если в опорном сечении не приложена пара сил.
6. В сечениях, где приложена пара сил, на эпюре Mимеется скачок, равный величине момента этой пары.
7. На свободном конце балки (консоль) изгибающий момент равен нулю, если там не приложена пара сил. Если на конце консоли нет сосредоточенной силы, то и перерезывающая сила на этом конце равна нулю.
8. В защемленном конце Q иM соответственно равны опорной реакции и опорному моменту.
5.3. Уравнения равновесия балки в перемещениях
Используя физические соотношения (4.14) и (4.15), представим уравнения равновесия (5.1), (5.2) и (5.3) в перемещениях:
,
или
(5.4)
.
,
или
,
и окончательно,
(5.5)
.
Для стержня постоянного поперечного сечения уравнения (5.4) и (5.5) принимают следующий вид:
(5.6)
Эта система и представляет собой уравнения равновесия балки постоянного сечения в перемещениях.
5.4. Ось стержня
В силу того, что статический момент
инерции поперечного сечения
может быть больше нуля, равным нулю и
меньше нуля, то можно выбрать такое
положение осиx, когда
=0.
В этом случае система уравнений
(5.6) разделяется на два
отдельных уравнения:
,
(5.7)
.
Линия, проходящая через точки, относительно
которых статический момент
сечения
равен нулю, называется осью стержня.
5.5. Граничные условия
Рассмотрим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня в форме (5.8), которое представляет собой дифференциальное уравнение четвертого порядка. Проинтегрируем данное уравнение последовательно четыре раза от 0 до x, предварительно записав его в виде
.
Первое интегрирование дает
(5.9)
.
Второе интегрирование дает
,
(5.10)
.
Третье интегрирование для балки постоянного поперечного сечения дает:
,
(5.11)
.
Четвертое интегрирование дает
,
(5.12)
.
В формулах (5.9) - (5.12) постоянные интегрирования A, B, C, Dв физическом смысле представляют собой значения перерезывающей силы (константаA), изгибающего момента (константаB), угла поворота (константаC) и прогиба (константаD) в начальной точке оси балки приx = 0. Указанные величины зависят не только от нагрузки балки, но и от устройства ее опор и определяются из граничных условий. Граничные условия подразделяются на статические и кинематические. Статические граничные условия определяют значения перерезывающей силы и изгибающего момента в торцевых сечениях балки (на концах рассматриваемого участка). Кинематические граничные условия накладывают ограничения на перемещение и поворот сечения в местах наложения опорных связей. Если в пролете балки приложены сосредоточенные силы и моменты, то функции, выражающие перерезывающую силу и изгибающий момент, имеют разрывы непрерывности, что необходимо учитывать при интегрировании уравнений.
Приведем граничные условия для определения констант интегрирования A,B, C, Dв уравнениях (5.9) - (5.12) для трех расчетных схем (рис.5.2, а, б, в):
а) приx=0:
при x=l:
б) приx=0:
при x=
при x=
;
.
;
:
;
:
.
в) приx=0 :
при x=
при x=0 :
при x=
;
:
;
;
:
.
Рис. 5.2