Раздел 2. Теория напряженного состояния

2.1. Напряжения

Внутренние силы так же, как и внешние нагрузки, рас­преде­лен­ные по поверхности, характеризуются интенсивностью (рис. 2.1), которая рав­­на

а) б)

Рис. 2.1

- интенсивность нормальных сил - нормальные на­п­ря­­­­­­же­ния, вызывающие отрыв (сжатие) частиц (размернос­ть).

- интенсивность касательных сил - касательные нап­­ря­же­­ния, вызывающие сдвиг (размерность).

Нормальные и касательные напряжения являются составляющими полного на­п­­­­­ря­­жения в точке по данному сечению, величина которого вычисляется по формуле.

Величины нормальных и касательных напряжений в каждой точ­ке элемента зависят от направления сечения, проходящего через эту точку.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действу­ю­щих по различным площадкам, проходящим через рас­смат­ри­вае­мую точ­ку, представляют собой напряженное состояние в этой точ­ке.

2.2. Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Рассмотрим элементарную площад­ку dF поперечного сеченияF(сечения, нормального к осиx) бру­са с дей­­ст­ву­ю­щи­ми по этой пло­щад­ке нор­ма­льнымии каса­те­ль­ны­минап­ря­жения­ми (рис. 2.2). Раз­­ло­­­жим нап­­­ряже­нияна состав­ля­ю­щиеи, па­рал­лель­­ные со­от­­вет­ст­венно осямyиz. На пло­щад­кудействуют эле­мен­тарные силы,,, па­рал­лель­ные со­­от­ветственно осямx, y иz. Про­ек­­ции всех элемен­тарных сил (дей­ству­ю­щих на всех элементарных пло­щад­кахdF сеченияF) на осиx, y иzи их мо­мен­ты относительно этих осей оп­ре­­деляются вы­ра­же­ниями

;

(2.1)

.

Рис. 2.2

В левых частях выражений (2.1) указаны внутренние усилия, дей­ст­ву­ющие в поперечном сечении бруса и приведенные к точке пере­се­че­ния оси xи поперечного сечения. А именно:N- про­доль­ная сила;и- поперечные силы, параллельные соот­вет­с­т­венно осямyиz;- кру­­тя­щий момент;- изгибающий момент относительно осиy(дей­ст­­ву­ю­щий в плоскостиxz);- изги­ба­ю­щий момент от­но­си­те­льно осиz(дей­ст­ву­ю­щий в плоскостиxy).

2.3. Виды напряженного состояния

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действу­ю­­щих по всем площадкам, проходящим через рассматриваемую точ­ку, на­зы­вается напряженным состоянием в этой точке.

Различают следующие виды напряженного состояния:

а) пространственное (трехосное) напряженное состояние (рис. 2.3, а), когда через рассматриваемую точку тела нельзя провести ни одной пло­щад­ки, в которой касательные и нормальные напряжения были бы равны нулю;

б) плоское (двухосное) напряженное состояние (рис. 2.3, б), ког­да в од­ной (и только одной) площадке, проходящей через рассматри­ва­е­мую точ­ку тела, касательные и нормальные напряжения равны ну­лю;

в) линейное (одноосное) напряженное состояние (рис. 2.3, в), ког­да ка­са­те­ль­ные и нормальные напряжения в двух площадках, про­хо­дящих через рассматриваемую точку тела, равны нулю.

а)б)в)

Рис. 2.3

2.4. Плоское напряженное состояние

При плоском напряженном состоянии, как отмечалось выше, в од­ной из площадок, про­ходящих через рассматриваемую точку, каса­тель­ные и нор­маль­ные напряжения равны нулю.

Выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (эле­мен­­­тарную) треугольную призму и сов­мес­тим эту площадку с плос­ко­с-тью чертежа. Индекс у нормальных и касательных напряжений (рис.2.4, а) указывает на направление их действия. Например,- напряжение, дей­ст­вующее на площадке, перпендикулярной осиx, в направлении осиx.

Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклонен­ной под углом к грани, по которой действуют нап­ря­же­ния, обозначим, а касательные напряжения по этой гра­­ни.

а)б)

Рис. 2.4

Умножив каждое из действующих напряжений (рис. 2.4, а) на пло­­­­щадь грани, по которой оно действует, получим систему сос­ре­до­то­­чен­ных сил, приложенных в центрах тяжести соответствующих гра­­ней (рис. 2.4,б):

(2.2)

В силу того, что выделенный элемент находится в равновесии, для не­­го спра­вед­­ливы следующие уравнения статики :

(2.3)

;

;

.

Подставив в последнее уравнение выражения для сил ииз (2.2), по­лу­чим

,

откуда

(2.4)

.

Выражение (2.4) представляет собой математическую запись за­ко­на парности касательных напряжений, который гласит, что касатель­ные нап­ря­жения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, пер­пен­­ди­ку­ляр­ные к их общему ребру, равны по абсолютной величине и направлены либо оба к ребру, либо оба от ребра (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Первые два уравнения из (2.3) с учетом выражений для усилий из (2.2) принимают вид:

;

.

Учитывая, что , сократим данные уравнения на про­изведение. В результате получим:

;

.

Используя закон парности касательных напряжений (2.4), полу­чим:

,

(2.5)

(2.6)

.

При выводе формул (2.5), (2.6) учтена тригоно­мет­ри­чес­кая за­ви­си­­мо­с­ть .

Формулы (2.5), (2.6) позволяют определять значения нормаль­ных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения ив любых двух про­хо­дя­щих через нее взаимно перпендикулярных пло­ща­д­ках.

По формуле (2.5) вычислим сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол ра­вен, а для другой:

,

т. е.

(2.7)

.

Таким образом, сумма величин нормальных напряжений в двух вза­им­но перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Сле­до­ва­те­льно, если в одной из таких площадок нормальные нап­ря­же­ния имеют максимальное значение, то в другой - ми­ни­ма­льное.

При выводе формулы (2.7) были использованы следующие три­го­­но­­мет­­рические зависимости:

,,,

,.