10.2. Расчеты при растяжении и сжатии

Рассмотрим стержень постоянного сечения, зак­ре­п­­ленный верх­ним кон­цом и растягиваемый силойP, при­ло­женной к нижнему кон­цу (рис. 10.3). Предельной наг­ру­зкой для этого стержня является такая, ко­торая вы­­зы­ва­ет во всех точках поперечных сечений напря­же­ния, рав­ные, т. е.

,

Рис. 10.3

гдеF- площадь поперечного сечения стержня.

Предельно допускаемую нагрузку оп­ре­делим, раз­­­де­лив на коэф­фи­циент за­па­са:

,

но

и, следовательно,

.

Таким образом, в рассматриваемом случае предельно допускаемая наг­­ру­з­ка равна допускаемой. Это ха­рак­тер­но для расчета любых ста­ти­чески оп­­­ределимых сис­тем, состоящих из центрально растянутых и центрально сжатых стержней.

В статически неопределимых системах .

10.3. Расчеты при кручении

При кручении прямого бруса в его поперечных сечениях возни­ка­ют только касательные напряжения . Эти напряжения распре­де­ле­ны вдоль ра­диуса поперечного сечения по линейному закону (рис. 10.4). Та­кое рас­пре­деление напряжений происходит лишь в случае, когда ве­ли­чинане пре­вы­ша­ет предела текучести материала при сдви­ге, т. е. когда кру­тя­щий мо­мент не превышает опасной ве­ли­чи­ны для сплошного сечения

,

(10.2)

или

(10.3)

для кольцевого сечения. В формуле (10.3)- отношение внут­рен­не­го диаметра кольца к наружному. На рис. 10.4 приняты следующие обоз­на­че­ния:

Зона 1 - зона упругого состояния;

Зона 2 - зона пластического сос­то­я­­­ния;

Рис. 10.4

С увеличением крутящего момента ширина кольцевой пластичес­кой зоны возрастает. При некотором предельном состоянии момента, со­от­­­ветствующем полному исчерпанию несущей способности бруса, зо­на уп­ругого состояния материала исчезает, а зона плас­ти­чес­кого состо­я­ния материала занимает всю площадь поперечного се­че­ния. При этом во всех точках сечения напряжения равны пределу текучести.

Для определения величины выделим в поперечном сечении бру­­­­­са элементарную площадкуdF, отстоящую на расстоянииот его цен­т­ра. Элементарная касательная сила, действующая на эту площадку в пре­де­льном состоянии, равнаа ее момент от­но­­сительно центра се­че­ния, откуда

(10.4)

,

где - пластический полярный момент сопротивления по­пе­реч­­но­­го сечения.

Для определения величины пластического полярного момента соп­ро­тивления выделим в круглом поперечном сечении кольцо, внутренний радиус которого , а наружный радиус.

Пластический полярный момент сопротивления этого кольца

,

где - площадь рассматриваемого кольца.

Пластический полярный момент сопротивления всего попереч­но­­го се­­чения

.

(10.5)

С учетом данной формулы дляполучим выражение

(10.6)

.

Определим величину отношения :

10.4. Расчеты при изгибе

При прямом чистом изгибе бруса в его поперечных сечениях воз­ни-

ка­ют только нормальные напряжения. Рассмотрим эпюры рас­пре­­деления

нормальных напряжений по высоте сечения (рис. 10.5). По мере увеличе­ния изгибающего момента Mнормальные на­пря­же­ния возрастают, пока наибольшие их значения не станут рав­ны­ми пределу текучести. При этом изгибающий момент равен опа­сному значению.

Дальнейшее увеличение изгибающего момента Mприводит к то­му,

что нап­ряжения, равные пределу текучести, возникают не то­ль­­ко в наи­бо­лее уда­ленных волокнах, но и в некоторой зоне поперечного сечения, ко­то­рое находится в пластическом состоянии.

Рис. 10.5

При некотором предельном значении изгибающего момента , со­­ответствующем полному исчерпанию несущей способности сечения бру­­­­­са на изгиб, упругая зона исчезает, а зона пластичес­ко­­­го состояния за­ни­мает всю площадь поперечного сечения. При этом в сечении образуется так называемый пластический шарнир (или шарнир текучести).

Определим величину предельного изгибающего момента . Его величина равна моменту всех элементарных силиотно­си­те­ль­­но нейтральной оси:

.

(10.7)

Сумманазывается осевым пластическим моментом сопро­тив­ле­ния и обозначается:

.

(10.8)

Следовательно,

.

Продольная сила в поперечном сечении при изгибе равна нулю, а по­­­тому пло­щадь сжатой зоны сечения равняется площади растяну­той зо­ны. Та­ким образом, нейтральная ось в сечении, совпадающем с плас­ти­чес­ким шар­­ниром, делит это поперечное сечение на две рав­но­великие час­ти. Сле­до­вательно, при несимметричном поперечном се­чении нейт­ра­ль­ная ось не проходит в предельном состоянии через центр тяжести сече­ния.

Определим по формуле (10.8) величину предельного момента для стержня прямоугольного сечения высотойhи ширинойb:

.

Опасное значение момента равно.

Отношение = 1,5. Для круглого сечения отношение