7.5. Балки постоянного поперечного сечения из пластичных материалов

Для таких балок . В рассматриваемом случае опас­ным является то поперечное сечение, в котором возникает наи­больший по абсолютной величине изгибающий момент. Для этого се­че­ния и со­с­­­тавляется условие прочности. Опасными яв­ля­ю­т­ся точки по­пе­речного се­че­ния, наиболее удаленные от нейт­ра­ль­ной оси.

Нормальные напряжения в этих точках определяются по фор­му­ле

.

В результате получим формулу для проверки напряжений

.

(7.13)

Для подбора сечения балки (проектного расчета) определяется тре­­бу­е­мая величина момента сопротивления

.

(7.14)

При определении допускаемой на балку нагрузки (грузо­подъ­ем­но­с­ти балки) значение ординаты эпюры изгибающих моментов, наи­бо­льшее по абсолютной величине, выраженное в виде функции за­дан­ной нагрузкиq, P, M, приравнивается значению допускаемого из­ги­баю­ще­го момента, определяемого из выражения

(7.15)

.

Рассмотрим теперь случай, когда расчет балки на прочность то­ль­­­ко по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в ее опас­­ном поперечном сечении, недостаточен.

Для короткой балки поперечные силы могут иметь значи­тель­ную величину, в то время как изгибающие моменты могут оказаться срав­ни­­те­ль­но небольшими. В этих случаях следует проверить макси­ма­ль­ные каса­те­ль­ные напряжения в том поперечном сечении, в кото­ром по­пе­речная си­ла имеет наибольшее значение. Эти напряжения не должны пре­вышать до­­пускаемых касательных напряжений, т. е. долж­но удов­лет­воряться ус­ло­­­вие прочности по касательным напря­же­­ниям

(7.16)

.

Для балок обычно принимают

.

7.6. Балки постоянного поперечного сечения из хрупких материалов

К хрупким материалам относится, например, серый литейный чу­гун. У него предел проч­но­сти на растяжение в 3-5 раз меньше предела проч­но­с­­ти на сжатие. Поэтому целесообразно, чтобы наибольшие рас­тя­гива­ю­щие напря­же­ния в чугунном брусе были значительно меньше наибольших сжи­­ма­ющих напряжений.

Очевидно, что это требование может быть выполнено для бру­сь­ев с по­перечным сечением, несимметричным относительно нейт­раль­ной оси (рис. 7.5).

Для балки из хрупкого материала составляют два условия проч­но­­сти:

(7.17)

,

где

.

Рис. 7.5

7.7. Балки переменного поперечного сечения

В том случае, когда поперечное сечение балки имеет пере­мен­ное се­­че­ние (жесткость), то те упрощения, которые нам предо­став­ля­ет уни­вер­­са­ль­ное уравнение изогнутой оси, теряются, и следует пере­хо­дить к пря­мому ин­тегрированию более сложной функции

,

где не только момент, но и жесткость являются величинами пе­ре­мен­­ны­ми.

Интегрирование этой функции может быть осуществлено или ана­­­ли­ти­чески (если это возможно), или численно с использованием од­но­го из из­вестных методов вычислительной математики.

7.8. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования уравнений равновесия

Уравнение изогнутой оси стержня при поперечном изгибе, сог­ла­с­­но (6.2) имеет вид

.

Проинтегрировав это уравнение один раз, получим уравнение уг­лов по­во­рота сечений балки

,

где - уравнение эпюры изгибающих моментов на рас­смат­ри­вае­мом участ­­ке балки;С- константа интегрирования.

Интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов (урав­не­ние уп­­­ругой линии)

(7.19)

.

Для балки постоянного сечения и, следовательно,

(7.20)

;

(7.21)

.

Постоянные интегрирования CиDопределяются из кинема­ти­чес­ких граничных условий, т. е. условий, накладываемых на балку при введении опор­ных связей (рис. 7.6,а,б):

Рис. 7.6

а) консольная балка:

при :; при:,;

б) свободно-опертая балка:

при :; при:.