Раздел 7. Прямой изгиб

В случае центрального растяжения - сжатия и кручения прямых бру­сь­­ев их оси, первоначально прямые, остаются прямыми и после де­фор­ма­ции. В отличие от этих видов деформации изгиб пред­став­ля­ет собой та­кую деформацию, при которой происходит искривление осей пря­мых бру­­­сьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.

Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса из­ги­ба­­­ющих моментов.

Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в дан­ном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходя­щей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения.

7.1. Прямой чистый изгиб

Прямой изгиб, при котором в попе­реч­­ных сечениях бруса воз­ни­кает только из­гибающий момент, называется прямым чистым из­ги­бом.

При прямом чистом изгибе гипотеза плоских сечений является аб­со­лю­т­но точ­ной.

Участок II (рис. 7.1) пред­с­та­­вляет со­­­­бой участок чистого из­­ги­ба. На этом уча­стке дей­ст­ву­ет только из­ги­­бающий мо­мент.

Участок I, на котором дей­с­т­­­вует как поперечная сила, так и изгиба­ю­щий момент, представ­ля­ет собой учас­ток поперечного из­ги­ба.

При поперечном изгибе дефор­ма­ции в точке M(рис 7.2), от­сто­я­щей от оси стержня (нейтральной оси) на рас­сто­я­нииyопре­де­ляет­ся вы­ра­­­­­­­жением

.

Рис. 7.1

В соответствии с законом Гука нормальные напряжения при из­ги­бе равны

(7.1)

.

Из условия равновесия для вы­­де­ленной части стержня следу­ет

,

или, подставив выражение для из (7.1),

,

,

(7.2)

Рис. 7.2

.

С учетом (7.2) выражение (7.1) примет следующий вид:

(7.3)

.

Формула (7.3), определяющая нормальные напряжения в про­из­во­ль­ной точке рассматриваемого сечения бруса, применима при ус­­ловии, что плоскость действия изгибающего момента проходит че­рез одну из глав­ных осей инерции этого сечения или ей параллельна. При этом ней­т­ра­льная ось поперечного сечения является его главной цент­ра­льной осью инерции, перпендикулярной к плоскости действия изги­ба­ю­щего момента.

Определим максимальные по абсолютной величине нормальные на­п­­ряжения в поперечном сечении:

,

где - расстояние от нейтральной оси до наиболее уда­лен­ной точ­ки се­­­чения.

Величина , зависящая только от размеров и формы попе­реч­но­го сечения, называется осевым моментом сопротивления сече­ния и обоз­начается:

(7.4)

.

Таким образом, максимальные по абсолютной величине нор­ма­ль­ные напряжения в сечении вычисляются по формуле

(7.5)

.

7.2. Прямой поперечный изгиб

При поперечном изгибе в поперечном сечении бруса, кроме из­ги­­ба­ю­­ще­го момента, действует также поперечная сила.

Если поперечный изгиб является прямым, то изгибающий мо­мент дейст­вует в плоскости, совпадающей с одной из главных плос­ко­с­­тей бру­­са.

Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что формулы, полученные для случая прямого чистого изгиба, при­ме­­нимы и при прямом поперечном изгибе.

Поперечная сила, действующая в сечении бруса, связана с каса­те­ль­­ными напряжениями, возникающими в этом сечении, зависи­мо­с­тью

,

где - составляющая касательного напряжения в поперечном се­че­нии, параллельная осиyи силеQ.