6.2. Осевой момент инерции сечения

Осевым моментом инерции плоского сечения относительно ка­кой-ли­бо оси, лежащей в той же плоскости, называется сумма прои­з­ве­дений эле­ментарных площадок dFна квадраты их расстояний до данной оси.

(6.5)

,

.

6.3. Полярный момент инерции сечения

Полярным моментом инерции плоского сечения отно­си­тель­но ка­­ко­го-либо полюсао (рис. 6.1), лежащего в плоскости сечения, на­зы­ва­ется сумма произведений элементарных площадокdFна квадраты их рас­сто­я­нийдо полюса:

,

а так как , то

.

(6.6)

Таким образом, сумма осевых моментов инерции сечения отно­си­те­ль­­но двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному мо­мен­ту ине­р­ции относительно точки пересечения указанных осей.

6.4. Центробежный момент инерции сечения

(6.7)

Центробежным моментом инерции плоского сечения отно­си­те­ль­но осейzиyназывается сумма произведений элементарных пло­ща­докdFна их координатыzиy.

,

.

Рассмотрим фигуру, симметричную от­но­си­тель­но одной или нес­­кольких осей (рис. 6.3).

,

,

,

Рис. 2.3

.

Таким образом, центро­беж­ный мо­­мент инер­­ции сечения отно­си­те­ль­но осей, из кото­рых одна или обе сов­па­да­ют с его осями сим­метрии, ра­вен ну­лю.

6.5. Вычисление моментов инерции сечений простой формы

6.5.1. Прямоугольное сечение

1. Осевой момент инерции прямоугольника.

Разбив прямоугольник с основанием bи высотойhна бес­ко­неч­но уз­­кие горизонтальные полоски, возьмем одну из них на рас­сто­я­нииyот осиz(рис. 6.4,а). Ширина этой полоскиb, высотаdy. Мо­мент инерции ее от­­­носительно осиzбудет равен

.

Момент инерции прямоугольника

,

окончательно

(6.8)

.

Очевидно, что момент инерции прямоугольника относительно оси y

(6.9)

.

Приняв b=h=a, получим формулу для определения момента инерции квадратного сечения со сторонойa:

.

2. Центробежный момент инерции прямоугольника.

Выделим элементарную площадку dF =(рис. 6.4,б).

Вначале вычислим центробежный момент инерции не всего пря­мо­угольника, а лишь вертикальной полоски высотой hи шири­ной, рас­по­ло­женной на расстоянииот оси:

(6.10)

.

а) б)

Рис. 6.4

В выражении (6.10) вынесено за знак интеграла, так как для всех пло­­­щадок, принадлежащих рассматриваемой вертикальной по­ло­­с­­ке, оно по­­стоянно.

.

(6.11)

Проинтегрируем в пределах отдо

;

.

(6.12)

Формула (6.12) справедлива для прямоугольника, располо­жен­но­­го в пер­вом или третьем квадрантах, где координатыy иzодного зна­ка. Для пря­моугольника, расположенного во втором и четвертом квад­рантах, где ко­ординатыy иzразного знака:

(6.13)

.

Центробежные моменты инерции

,

так как оси ипроходят через центр тяжести сечения.

6.5.2. Треугольное сечение

Определим осевой момент инерции треугольника относительно оси (рис. 6.5).

,,

,.

Рис. 6.5

;

.

(6.14)

6.5.3. Сечение в форме круга

1. Полярный момент инерции круга (рис. 6.6).

;

;

(6.15)

,

где - диаметр круга.

Рис. 6.6

2. Осевой момент инерции круга.

Ввиду симметрии круга относительно любого диаметра (рис. 6.6) осе­вые мо­менты инерции относительно любых осей, про­хо­дящих через центр круга, равны между собой. Поэтому , а так как, то величина осевого момента инерции площади круга от­но­сительно любой оси, проходящей через центр круга, равна полови­не полярного момента инерции, т. е.

(6.16)

.

3. Осевой момент инерции кругового кольца.

Это разность осевых моментов инерции большого круга диа­мет­­­ром Dи малого круга диаметромd­.

;

(6.17)

.