2.3.1. Элемент и-не (штрих Шеффера)

Алгебраическая форма:
Таблица истинности для двух переменных:
Условное графическое изображение:

Функция И-НЕ принимает значение 1 при нулевом значении хотя бы одного аргумента.

2.3.2. Элемент или-не (стрелка Пирса)

Алгебраическая форма:
Таблица истинности:
Условное графическое изображение:

Функция ИЛИ-НЕ принимает значение 0, если хотя бы один аргумент принимает значение 1.

Элементы И-НЕ, ИЛИ-НЕ называются функционально-полными, т. к. на основе базиса каждого из них можно выполнить любую элементарную логическую функцию: НЕ, И, ИЛИ. Покажем это на примере элемента И-НЕ. С учетом правила логического умножения операцию НЕ можно представить в виде или .Таким образом, получаем схемы инверторов в базисе И-НЕ (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Схемы инверторов в базисе И-НЕ

Применяя последовательно операции двоичного отрицания и теоремы де Моргана, можно операцию ИЛИ представить в виде

,

отсюда получаем элемент ИЛИ в базисе И-НЕ (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Элемент ИЛИ в базисе И-НЕ

На основе правила двоичного отрицания имеем и соответственно элемент И в базисе И-НЕ (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Элемент И в базисе И-НЕ

2.4. Синтез логических устройств

Под синтезом логических устройств понимается переход от логической функции, заданной любым способом, к электрической схеме, реализующей эту функцию.

Если исходная логическая функция задана в виде таблицы, то синтез начинается с алгебраической записи функции, которая может быть представлена в двух вариантах – совершенной нормальной дизъюнктивнойформе (СДНФ) или совершеннойконъюнктивнойнормальной форме (СКНФ).

Получение СДНФ покажем на примере некоторой логической функции трех переменных, заданной таблицей истинности (табл. 2.1). Для каждого набора переменных, где функция принимает значение 1, в данном случае это наборы № 1, 3, 5, 7, записывается логическое произведение аргументов (минтерм), причем если аргумент имеет значение 0, то в произведении берется его отрицание. Так, для n=1 можно записать, что , дляn = 3 и т. д. Полученные таким образом произведения объединены логическим сложением. В результате для функции по табл. 2.1 получим СДНФ в виде

. (2.1)

Электрическая схема, реализующая функцию (2.1), должна содержать два элемента НЕ, четыре трехвходовых элемента И и один четырехвходовый элемент ИЛИ (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Электрическая схема, реализующая логическую функцию, заданную табл. 2.1

Для замены в СКНД используются наборы переменных, где функция принимает значение «0». В данном случае это набор с номерами 0, 2, 4, 6. Для этих наборов записывается сумма аргументов, причем если аргумент имеет значение 0, то записывается сам аргумент, а если 1 – его отрицание. Полученные таким образом суммы (макстермы) объединяются логическим умножением. Для рассматриваемой функции по табл. 2.1 получим логическое уравнение в СКНФ форме в виде

. (2.2)

Для реализации структурной схемы потребуется два инвертора, четыре элемента ИЛИ на три входа и один четырехвходовый элемент И.