2.4. Временной анализ линеаризованных цепей
Важным следствием линеаризации является то, что анализ реакции цепи на приращения относительно режима покоя – это задача при нулевых начальных условиях.
При нулевых начальных условиях применение одностороннего преобразования Лапласа
приводит к замене операции дифференцирования и интегрирования по времени к операции умножения или деления на переменную р:
(2.12)
В результате дифференциальное уравнение, определяющее связь «вход-выход» цепи, трансформируется в алгебраическое в функции от р:
y(p) = x(p) K(p), (2.13)
где
– передаточная
функция
цепи.
Переход от изображения реакции цепи к оригиналу (обратному преобразованию Лапласа L–1[у(р)]) может быть проведен на основании интеграла свертки.
В теории преобразования Лапласа доказано, что, если y(p)=A(p) B(p), а A(t), B(t) – оригиналы А(р) и В(р):
то имеет место равенство
, (2.14)
которое и называется интегралом свертки.
На основании интеграла свертки можно, зная реакцию цепи на некоторый тестовый сигнал, определить реакцию цепи на любой сигнал. В качестве тестового сигнала может, например, выступать дельта-функция (t) – импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. По определению дельта-функции площадь под кривой (t) равна единице:
.
Хотя дельта-функция является математической абстракцией, ее введение позволяет во многих случаях упростить анализ.
Поскольку изображение по Лапласу дельта-функции
,
то реакция цепи на дельта-функцию есть оригинал передаточной функции и называется импульсной характеристикой цепи:
K(t) = L–1[K(p)].
Для произвольного сигнала x(t) имеем
y(p) = x(p) K(p),
и на основании (2.14) получаем
(2.15)
Соотношение (2.15) означает, что, зная импульсную характеристику цепи k(t), можно определить реакцию цепи на любой сигнал x(t).
Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие x(t)=1=1(t) (t 0) называется переходной характеристикой цепи h(t).
Поскольку изображение по Лапласу единичной функции
,
то реакция системы на единичное воздействие будет равна
h(p)=1(p)
K(p)
=
,
тогда переходная характеристика
.
Для произвольного сигнала x(t) реакция цепи
y(p) = x(p) K(p).
Проведем очевидное преобразование этого выражения:
На основании свойств преобразования Лапласа оригиналы
Тогда на основании интеграла свертки и свойства линейности преобразования Лапласа получим
(2.16)
Соотношение (2.16) называется интегралом Дюамеля и позволяет по известной переходной характеристике цепи h(t) определить реакцию на любой сигнал.
Контрольные вопросы и задания
Рис. 2.16
2. Какие методы расчета прохождения сигналов в электрических цепях вы знаете?
3. Что такое амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная (ФЧХ) и переходная характеристики цепи?
4. Рассчитать АЧХ приведенных цепей (рис. 2.16).
Основные результаты второй главы
Анализ цепей, содержащих нелинейные и инерционные электронные элементы, наиболее эффективен на основе численных методов с использованием моделирующих программ, например MicroSim DesignLab 8.0.
Для статического расчета простейших нелинейных цепей возможно применение графоаналитического метода с использованием графического представления нелинейных зависимостей – вольт-амперных характеристик.
Во многих практических случаях, когда нелинейность электронной цепи не является принципиально необходимым свойством, возможно путем линеаризации перейти к линейной зависимости «вход-выход» для приращений относительно некоторого исходного режима цепи, который мы назвали режимом покоя.
Поскольку численное значение параметров линеаризованной модели цепи зависит от режима покоя, то правильный выбор последнего является важной инженерной задачей при проектировании электронных устройств.
Для анализа линеаризованных цепей широко используются частотный метод (при гармоническом воздействии) и временной метод (при произвольном воздействии).
Важнейшим свойством этих видов анализа является переход от дифференциальных уравнений «вход-выход» к алгебраическим в символической форме при частотном методе и в операторной форме при временном методе:
y(j) = x(j) K(j);
y(p) = x(p) K(p).
Использование передаточных операторов K(j) – амплитудной фазовой частотной характеристики и K(p), передаточной функции системы делает анализ сложных линеаризованных цепей более простым и наглядным.
Зная реакцию цепи на простейшие стандартные воздействия – гармоническое, ступенчатое, дельта-функцию – можно методом наложения определить реакцию цепи на сложный периодический (частотным методом) или непериодический (временным методом) сигнал.