2.5. Выбор системы логических элементов

При проектировании цифровых устройств сложную логическую цепь синтезируют из простых логических элементов, описываемых простыми логическими функциями. При этом необходимо осуществлять выбор типов ЛЭ, из которых будет выполнено цифровое устройство. Прежде всего требуется, чтобы набор ЛЭ был функционально полным. Функционально полный набор часто именуют базисом.

Для примера приведены семь функционально полных наборов ЛЭ:

1. И, ИЛИ, НЕ. 5. ИЛИ-НЕ.

2. И, НЕ. 6. И-ИЛИ-НЕ.

3. ИЛИ, НЕ. 7. ИЛИ-И-НЕ.

4. И-НЕ.

2.6. Минимизация логических функций

Прямой синтез, продемонстрированный выше, как правило, приводит к схеме, обладающей аппаратной избыточностью. Поэтому в процессе синтеза исходная логическая функция минимизируется путем упрощения алгебраической записи на основе использования теорем и правил алгебры логики. Покажем это на примере уже рассмотренной выше функции СДНФ, которая имеет вид (2.1)

. (2.3)

Применяя к (2.3) закон склеивания = 1, получаем

.

В результате надобность в схеме по рис. 2.1 вообще отпала, поскольку значение функции уполностью повторяет значение аргументах₁, который, таким образом, и остается единственным из трех информативных параметров.

Метод непосредственного упрощения весьма громоздок в реализации и, кроме того, не гарантирует отыскания минимальной нормальной формы (НФ). Поэтому применяют различные способы систематизации слагаемых, облегчающие их склеивание. Одним из таких способов является применение диаграмм или карт Карно (Вейча). Карта Карно представляет собой прямоугольник, разбитый на квадраты, число которых равно 2ⁿ, где n – количество переменных (аргументов). Так, для функции трех переменных будет 8 квадратов, для функции четырех переменных – 16 и т. д. На полученной таким образом карте обозначаются переменные. Каждая переменная должна занимать 50 % клеток карты и на 50 % пересекаться с клетками, занимаемыми другими переменными. Карты Карно отличаются от карт Вейча порядком обозначения переменных.

Например, для функции четырех переменных (,,,) на карте Карно по горизонтали перечисляютсяи, по вертикали –и(рис. 2.12). На карте Вейча: по горизонтали – и, по вертикали –и. Клетки, не занятые указанными переменными, будут представлять их инверсию. Произведение переменных, на площадях которых расположена клетка, представляет соответствующий минтерм.

Функцию в СДНФ наносят на карту, отмечая, например, знаком 1 квадраты, соответствующие тем наборам, на которых функция равна единице. В остальные квадраты вписывается 0. Таким образом, карта Карно – это один из способов представления логической функции. Задача минимизации с помощью карт Карно заключается в отыскании минимального покрытия функции, т. е. покрытия минимальным числом минтермов, содержащих минимальное число переменных. Для этого необходимо произвести объединение (склеивание) клеток.

Правила объединения

1. Объединяются клетки, составляющие квадраты из 4, 16 и т. д. клеток.

2. Объединяются клетки, составляющие полные столбцы или строки, и также два (рядом расположенных) столбца или строки из 4, 8, 16 и т. д. клеток.

3. Объединяются две соседние клетки.

4. Объединяются пары соседних клеток; клетки, образующие квадраты; столбцы или строки, если они расположены симметрично либо относительно центральной вертикальной или горизонтальной оси карты, либо симметричны относительно центральной оси половины карты.

5. Одна и та же клетка (группа клеток) может входить одновременно в несколько объединений.

Для получения минимальной нормальной формы число объединений должно быть минимальным, и в объединение должно входить максимальное число клеток.

Каждое объединение представляет собой минтерм более низкого уровня, в который входят те переменные, на площадях которых полностью размещаются данные объединения.

На рис. 2.13 приведена карта Карно четырех переменных. В данном случае можно объединить клетки, образующие полный столбец, четыре клетки, образующие полный квадрат, и клетки по углам карты, симметричные относительно центральной оси. В этом случае логическая функция запишется в следующем виде:

.

Особо следует отметить те случаи, когда известно, что некоторые наборы аргументов невозможны (запрещены). Такую функцию можно доопределить, установив ее значение (0 или 1) на запрещенных наборах и используя это доопределение для минимизации.

При построении комбинационных устройств встречаются случаи, когда используемые логические элементы имеют недостаточное число входов. Для выхода из положения можно использовать теорему разложения функции по какому-либо из аргументов. Согласно этой теореме функцию F(A, B, C) можно представить в дизъюнктивной или конъюктивной форме в виде

F(A, B, C) = A  F₁(1, B, C)+ АF₂(0, B, C),

либо

F(A, B, C) = [A+F₁(0, B, C)][А +F₂ (1, B, C)];

F₁получается из исходной функции, если принятьА= 1, аF₂– если принятьА= 0.

Синтез сложных цифровых устройств производится на основе специальных компьютерных программ.