методичка2692(вища.матем

n1n2 = 1× 2 + 2 × (-1) + (-1) ×1 = 2 - 2 -1 = -1 ,

проходить через точку M 0 (2;−1;5) і перпендикулярна до площин 3x − 2 y + z − 7 = 0 , 5x − 2 y + 3z + 1 = 0 .

Нехай M (x; y; z ) - довільна точка шуканої площини.

Тоді вектори M 0 M , n1 та n2 - компланарні, а мішаний добуток векторів (M 0 M , n1 , n2 )= 0 . Тоді

Оскільки площина проходить через точку M1 (1;1;-2) , то її рівняння має вигляд

A( x − 1) + B( y − 1) + C (z + 2) = 0 .

Але точка M 2 (- 2;4;1) також належить площині, тому її координати задовольняють рівняння записаної площини,

тобто A(−2 − 1) + B(4 − 1) + C (1 + 2) = 0 , − 3A + 3B + 3C = 0 , − A + B + C = 0 .

10

рівняння має вигляд y − z − 3 = 0 .

11

Варіант 1

1.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (2;1;−1) перпендикулярно до вектора a = {1;−2;3}.

2.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (2;5;−3) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

M 1 (7;8;−1), M 2 (9;7;4).

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точки M 1 і M 2 паралельно вектору a , якщо M 1 (1;2;0),

M 2 (2;1;1), a = {3;0;1}.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 паралельно векторам a1 та a2 , якщо M 0 (1;1;1), a1 = {0;1;2}, a2 = {−1;0;1}.

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: x + 2 y − 3z + 6 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через три точки M 1 (3;−1;2), M 2 (4;−1;−1), M3 (2;0;2).

7.Обчислити відстань від точки M0 (0;0;0) до

площини 3x − 4 y + 5z −102 = 0 .

8.Обчислити кути між площинами: 4x − 5 y + 3z = 0 ,

x− 4 y − z + 9 = 0 .

5x + 3 y − 5z + 2 = 0 .

12

Варіант 2

1.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (3;−2;−7) паралельно до площини 2x − 3z + 5 = 0 .

2.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (1;0;−2) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

M 1 (3;−1;2), M 2 (4;−2;−1).

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точки M 1 і M 2 паралельно вектору a , якщо M 1 (2;−1;3),

M 2 (3;1;2), a = {3;−1;4}.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 паралельно векторам a1 та a2 , якщо M 0 (0;1;2), a1 = {2;0;1}, a2 = {1;1;0}.

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 2x − 3 y + 4z + 12 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через

три точки M 1 (1;2;0), M 2 (2;1;1), M 3 (3;0;1) .

13

Варіант 3

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (1;−5;8) паралельно до площини

3x − 4 y + 10 z − 5 = 0 .

2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (−1;3;4) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

M 1 (4;1;−2), M 2 (0;2;1).

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 3x − 4 y − 6z + 12 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через три точки M1 (1;1;1), M 2 (0;−1;2), M 3 (2;3;−1).

7.Обчислити відстань від точки M 0 до площини

M0 (− 2;−4;3), 2x − y + 2z + 3 = 0 .

14

Варіант 4

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (−1;2;3) перпендикулярно до вектора

a= {−1;2;−1}.

2.Скласти рівняння площини, що проходить через

точку M0 (4;−2;0) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

M1 (−1;0;2) , M 2 (1;3;−4).

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точки M 1 і M 2 паралельно вектору a , якщо M 1 (2;3;−5),

M 2 (−;1;1;−6) , a = {4;4;3}.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 паралельно векторам a1 та a2 , якщо M0 (2;3;−4), a1 = {4;1;−1}, a2 = {2;−1;2}.

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 6x − 5 y + 3z − 30 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через

три точки M 1 (2;−1;3), M 2 (3;1;2), M3 (5;−2;7).

15

Варіант 5

1.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (2;7;3) паралельно до площини x − 4 y + 5z −1 = 0 .

2.Скласти рівняння площини, що проходить через

точку M0 (− 3;6;4) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

точку M 0 паралельно векторам a1 та a2 , якщо M0 (2;3;−4), a1 = {4;1;−1}, a2 = {2;−1;2}.

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 5x − 6 y + 3z + 30 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через три точки M 1 (2;1;0), M 2 (3;−1;2) , M3 (13;3;10) .

7.Обчислити відстань від точки M 0 до площини

M0 (2;−4;2), 2x +11+10z −10 = 0 .

2x + 3 y − 2z − 4 = 0 , 3x + 5 y + z = 0 .

10. Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той двогранний кут між площинами 2 x −14 y + 6z −1 = 0 , 3x + 5 y − 5z + 3 = 0 , в якому лежить початок координат.

16

Варіант 6

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (1;−3;−2) паралельно до площини

3x − 2 y + 4z − 3 = 0 .

2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (7;−5;0) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

M 1 (8;3;−1) , M 1 (8;5;1).

3. Скласти рівняння площини, що проходить через точки M 1 і M 2 паралельно вектору a , якщо M 1 (3;−1;2),

M 2 (2;1;4) , a = {5;−2;−1}.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 паралельно векторам a1 та a2 , якщо M 0 (1;−1;0), a1 = {0;2;3}, a2 = {−1;4;2}.

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 2x − 3 y + 6z −12 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через

три точки M 1 (1;3;4), M 2 (3;0;2), M3 (2;5;7).

17

Варіант 7

1.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M0 (0;0;−6) перпендикулярно до вектора a = {2;3;−1}.

2.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M 0 (−1;2;−2) перпендикулярно до вектора M1M 2 , де

M1 (13;14;1), M 2 (14;15;2).

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 5x − 2 y + 4 z + 20 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через три точки M1 (1;−1;1), M 2 (− 2;1;3), M3 (4;−5;−2).

7.Обчислити відстань від точки M 0 до площини

M 0 (−1;1;−2), 2 x − 3 y + 6 z −11 = 0 .

3x + y + z − 5 = 0 , x − 4 y − 2z + 3 = 0 , 3x −12 y − 6z + 7 = 0 . 10. Скласти рівняння площини, що ділить навпіл той

двогранний кут між площинами 2x − y + 2z − 3 = 0 , 3x + 2 y − 6z −1 = 0 , в якому лежить точка M (1;2;−3).

18

Варіант 8

точку M 0 паралельно векторам a1 та a2 , якщо M 0 (2;3;3), a1 = {−1;−3;1}, a2 = {4;1;6}.

5.Записати задане рівняння площини у «відрізках» та побудувати її: 2 y + 3z − 6 = 0 .

6.Скласти рівняння площини, що проходить через

три точки M1 (− 3;4;−7), M 2 (1;5;−4) , M3 (− 5;−2;0).

9. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і лінію перетину двох площин: M 0 (1;1;1), x − y + 2 z − 3 = 0 , 2x − z + 4 = 0 .

10. Скласти рівняння площини, що проходить через

oxy .

19