методичка2692(вища.матем

5

Циклоїда

Рис. 19

H

2 i · 3 " sin 3$, (рис. 20).

5 i · 1 " cos.

3$,

8

Рис

20

6

Спіраль Архімеда h i (рис. 21).

Рис. 21

Рис. 22

5

2

H

5 3

-

8

7 Півкубічна парабола

-

або

2 3 , (рис. 22).

в бік, протилежний ближній вершині,

то рівняння всіх

j

,

трьох кривих у полярних координатах буде однаковим:

де

d

–

1," d cos–

.

ексцентриситет а

a

параметр

Для еліпса й гіперболи

cb . Для еліпса d f 1, для

гіперболи d g 1, для параболи d 1.

k5

Приклад 1

Написати

рівняння

кола,

яке

0; 10$

,

, тоді

,

.

дотикається вісі

k2. в початку координат і перетинає вісь

у точці

l

l m

,ln

2

0; 5$ ` 5.

2 5 " 5$

25

5

" 105 0

Діаметр кола

бо

Рівняння кола

або

Приклад 2

Скласти

канонічне

рівняння

еліпса,

відстань між фокусами якого, що лежать на вісі k2,

дорівнює 24, а ексцентриситет дорівнює =-.

,caa 1

Щоб скласти канонічне рівняння еліпса b*aa

треба знайти

i

і p .

Оскільки

ексцентриситет

d be, а

q 12,

то

маємо

=-

:b r i 16.

Використаємо

p

i

" q

p.

:

256 " 144,

112

співвідношення

, отримаємо:

Таким чином рівняння еліпса має вигляд

*0Va

::,a

1.

Приклад 3

Дана

гіпербола

.

Знайти ексцентриситет гіперболи і

рівняння її асимптот

92

" 165

144.

Поділимо

обидві

частини

даного рівняння на 144,

одержимо

канонічні

рівняння

гіперболи

:V*a " ,Ea

1,

з

співвідношенням

i

16і

p

9

якого бачимо,

i p.

q

,

.

Скористаємося

що

q 16 9 25

одержимо

d

=0.

Оскільки

ексцентриситет

d be,

то

маємо

Підставимо

у

рівняння

асимптот

гіперболи

5 t bc

2

значення

i 4,

p 3,

та одержимо

рівняння

асимптот

даної гіперболи

5 t =-

2.

Приклад 4

Скласти рівняння

параболи, що

l 0; 0$

2; 3$

осі k2 і проходить через точки

симетричнаі

відносно.

Оскільки

парабола

симетрична

відносно

осі

і

проходе

через

початок

координат,

то

її

має

рівнянняk2

через точку 2; 3$, маємо 9 4 r =E. Отже, 5 E 2.

вигляд 5 2 2.

Враховуючи, що парабола проходить

Приклад 5

Написати рівняння гіперболи, фокуси

якої розташовані на осі абсцис симетрично відносно

початку координат, якщо рівняння асимптот

=

2

і

відстань між фокусами дорівнює 26.

5 t -

Рівняння

гіперболи

має

вигляд

b*aa ,сa 1,

де

i p q .

За умовою

2q 26,

звідки

q 13.

З

рівняння асимптот 5 t bc 2

маємо

bc

-=.

Отже, для

визначення i і p розв’язуємо систему рівнянь:

W

c

=

,

8

v

i

-0E

,

8

b

-

p

0

i p 13 ,

0 .

y

$

"

y

$

1 – шукане рівняння гіперболи.

Тому

wx*aa

ya,aa

Приклад 6

Написати

рівняння

*a

гіперболи,

вершини якої співпадають з фокусами еліпса

,a

,

а фокуси знаходяться в його вершинах.

0

:==

1

Рівняння еліпса

*a0

:==,a

1, звідки

i

i

,

225

i.

Із15

p

144

p 12

i

" p

,

q

q i

z

z

z

,

z

. q

z

z

,

,

,

z

z

z

q

.

За умовою

.

225,

" 144 81

q

, 9

i

9

z

z

q

15

співвідношення

.

i p

q

,

Тоді

знаходимо

" i a 225a " 81 144

p

q

p

9 12

Враховуючи що

знаходимо

Рівняння гіперболи: Q:* " :==, 1.

Приклад 7

Написати

рівняння

кола,

що

проходить

через

фокуси

еліпса

45

4

, а

центр

знаходиться у його верхній вершині2.

i 2,

Канонічне

рівняння

еліпса

*a

,a 1,

де

p 1.

Верхня

вершина

0; 1$.

=Знайдемо:

координати

q

.√i " p

√4 " 1 √3

^ "√3; 0$

фокусів еліпса

^:

і

^ .

^ √3; 0$

,

тоді

:

,

Радіус

кола знайдемо

як

відстань

між

двома

:

|

|

|

√3 " 0$

0 " 1$

точками:

` | ^

| ^

√3 1

2

.

2 " 0$ 5 " 1$ 2

2

5 " 1$

4

, або

. Рівняння кола:

.

8

Встановити

42

55 202 " 305

Приклад

вид

кривої

другого

10 0

що задана рівнянням

:

порядку,

4 2

52$

5 5 " 65$ 10 0

Виконаємо такі перетворення

" 2 · 35 9 " 9

4 }2

2 ·

2

=

" =

~ 5 5

10 0,

0

0

0

$

0$

" 25 5 5 " 3$

" 45 10 0,

4 2

4 2

0$ 5 5 " 3$ 60,

*/ay$ a

,+-$a 1

–

l: " 0

; 3$ і півосями i √15 і p

√12.

центром:

у

точці

одержали

канонічне

рівняння еліпса :0з

,

9

.3; 2$

Приклад

Записати рівняння лінії, кожна точка

Нехай

–

"1; 0$

,

на відстань у три рази

якої віддалена від точки

.

2; 5$

більшу ніж від точки

2 ; 5

$

| | 3| |

точка кривої

тоді за умовою задачі

2 ; 5 $

Відстань між двома точками

:

:

:

та

:

2:

" 2 $ 5: " 5 $ , отже

визначається формулою

| | 2 " 3$ 5 " 2$

| | 2 1$ 5

.

,

2 " 3$ 5 " 2$ 3 2 1$ 5 ,

кожна

Рівняння лінії:

Це рівняння кола з центром у точці " - ; " =:$ і

радіусом `

-√=0

.

Приклад 10 Побудувати графік функції,

заданої в

полярній системі координат рівнянням

j /- •€• ‚

. Знайти

:

F

F

3F

F

5F

8

4

8

2

8

cos

0

0

0

-

,923

,707

,382

0,382

j 2 3 cos

0

0

0

1

,2

,209

,24

,318

,5

,173

Продовження таблиці

4

8

F

8

4

cos

-

-

-

-

0,707

0,923

1

0,923

0,707

j 2 3 cos

-

-

-

-

Продовження таблиці

8

2

8

4

8

2F

cos

-

0

0

0

0,382

,382

,707

,923

j 2 3 cos

1

0

0

0

,173

,5

,318

,24

,209

,2

2.

Написати канонічне

"2; "3$

4; 5$

1.

Написати

рівняння

кола,

якщо

кінці одного із

діаметрів знаходяться в точках

і

.

2q 8

рівняння еліпса і побудувати

якщо відомо: відстань

p 3

дорівнює

його,

між фокусами

1)

; 2)

; 3)

162

" 95

;144

, а мала піввісь дорівнює

.

3.

Задано

гіперболу

.

Знайти:

піввісі

фокуси

ексцентриситет

4)

рівняння

асимптот. Побудувати гіперболу.

4.

Написати канонічне рівняння параболи, що

проходитиме через точку

і симетрична осі .

5.

Написати

рівняння

гіперболи

,

фокуси якої

2; 4$,

k2

координат, якщо відомо: відстань між директрисами

дорівнює Q, а ексцентриситет дорівнює

-.

6. Обчислити-

площу трикутника, який обмежений

.

=

"

E

1

і прямою

асимптотами гіперболи

*a

,a

92 25 " 24 0

7.

Написати

рівняння

кола,

яке проходить

через

вершини

гіперболи

" 135

156

,

а

центр

знаходиться в точці

5

122.

9.

Написати2

" 62 , 105 " 15 0

що

8.

вид

кривої

другого

порядку

Встановити 0; "2$

,

задана рівнянням

.

рівняння лінії кожна точка

у два

якої

віддалена від

прямої

на

відстань,

рази

2; 5$

більшу, ніж від точки

Отримане рівняння привести

2 "6.

до канонічного

вигляду і побудувати криву

1; 3$

.

10. Крива

другого

порядку

задана

рівнянням

у

полярній системі координат

j

1 d · ^ $.

1.

Написати рівняння кола, якщо кінці одного із

діаметрів знаходяться в точках

і

.

2.

Написати канонічне

рівняння еліпса і побудувати

1; 2$

7; 10$

a 6,

:

3.

Задано

ε 0,5

.

його якщо

відомо

велика

піввісь

дорівнює

а

1)

;

2)

;

3)

5x

" 4y

;20

ексцентриситет,

дорівнює:

.

гіперболу

Знайти

піввісі

фокуси

ексцентриситет

4)

рівняння

асимптот. Побудувати гіперболу.

,

5.

oy

канонічне

F 0; "3$

віссю

4.

Написати

рівняння

параболи з

симетрії

і фокусом у точці

.

Написати

рівняння

гіперболи

якщо

її

ексцентриситет

дорівнює

:-, фокус

міститься

в

точці

0; 13$

директриси

13y " 144 0

.

, а рівняння відповідної:

M

,

дорівнює

3,

відстань

6.

Ексцентриситет гіперболи

точки

гіперболи від директриси дорівнює 4. Знайти

відстань

точки

M

від

фокуса

одностороннього з

цією

директрисою.

4x

" 9y

36

точці

7.

.

яке

проходить

через

Написати

рівняння

кола,

A 0; 4$

, а центр знаходиться в

вершини гіперболи

9.

Написати4x

9y

32x,

" 54y 109 0

8.

Встановити

вид

кривої другого порядку, що

задана рівнянням

.

рівняння лінії

кожна точка

у

два

якої

віддалена від

прямої

на

відстань,

рази

2; 5$

більшу, ніж від точки

Отримане рівняння привести

2 "2.

до канонічного

вигляду і побудувати криву

4; 0$

.