методичка2692(вища.матем

8.

Обчислити

кути

між

площинами:

2x + 2 y + z − 9 = 0 , x − y + 3z − 1 = 0 .

9.

Знайти точку

перетину

трьох

площин:

x + 2 y + z − 8 = 0 , 3x + 2 y + z −10 = 0 , 4x + 3 y − 2z − 4 = 0 .

10.

Скласти рівняння площини, що ділить навпіл

двогранний кут між площинами 2 x + 2 y − z = 0 ,

z = 0 .

1.

Скласти рівняння площини,

що проходить через

точку

M0 (2;4;−3)

паралельно

до

площини

3x + 5 y − 6z + 8 = 0 .

2.

Скласти рівняння площини,

що проходить через

точку M 0 (7;−5;1) перпендикулярно до вектора

M1M 2 , де

M 1 (5;−1;−3) , M 2 (3;0;−4).

3.

Скласти рівняння площини,

що проходить через

точки M 1 і

M 2 паралельно вектору

, якщо M 1 (2;−2;−1) ,

a

M 2 (3;2;4),

= {− 2;4;5}.

a

4.

Скласти рівняння площини,

що проходить через

7.

Обчислити

відстань

між

паралельними

площинами 2x + 2 y − z + 3 = 0 ,

2 x + 2 y − z + 18 = 0 .

8.

Обчислити

кути

між

площинами:

3x + 2 y − 3z −1 = 0 , x + y + z − 7 = 0 .

9.

Скласти рівняння площини, що проходить через

точку

і

перпендикулярна

до

площин: M0 (0;0;0),

2x − 3 y + z −1 = 0 , x − y + 5z + 3 = 0 .

10.

Скласти рівняння площини, що ділить навпіл

двогранний

кут між

площинами

2x − y + 5z + 3 = 0 ,

2x −10 y + 4z − 2 = 0 .

в якості напрямного вектора S

прямої можна прийняти

i

j

k

векторний добуток n1 × n

= n1

× n2 =

2 : S

A1

B1

C1

.

A2

B2

C2

точки

M 1 (x1 ; y1 ; z1 ) ;

M 2 (x2 ; y2 ; z2 )

має

вигляд

x - x1

=

y - y1

=

z - z1

.

x2 - x1

y2 - y1 z2 - z1

3 Канонічні рівняння прямої

x - x1

=

y - y1

=

z - z1

,

m

n

p

x - x1

y - y1

z - z1

x = x0

+ mt

=

=

= t y = y0 + nt .

m

n

p

+ pt

z = z0

Рис. 7

Якщо

прямі l1

і

l2

задані

рівняннями

x - x1

=

y - y1

=

z - z1

,

x - x2

=

y - y2

=

z - z2

, то під

m1

n1

p1

m2

n2

p2

(m1 ; n1 ; p1 )

(m2 ; n2 ; p2 ). Тому

векторами

S1 =

і

S 2 =

cosϕ =

m1m2 + n1n2 + p1 p2

.

m

2

+ n 2

+ p 2

× m

2

+ n

2

2 + p

2

1

1

1

2

2

Якщо

прямі

l1 і

l2

перпендикулярні,

то

m1m2 + n1n2

+ p1 p2 = 0 .

Якщо прямі l1

і l2

паралельні, то

m1

=

n1

=

p1

.

m2

n2

p2

6 Умова, за якої дві прямі лежать в одній площині.

Нехай

прямі

задані

канонічними

рівняннями

x - x1

=

y - y1

=

z - z1

,

x - x2

=

y - y2

=

z - z2

. Щоб

ці

m1

n1

p1

m2

n2

p2

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0 .

m1

n1

p1

m2

n2

p2

а пряма l рівнянням

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

m

n p

sin √

Рис. 8

0

і

Якщо пряма паралельна площині

то вектори

перпендикулярні (рис

. 9):

, .

Рис. 9

Рис. 10

, то

Якщо пряма

перпендикулярна до площини

вектори і

паралельні (рис. 10):

.

паралельно вектору,

&

.

і

2; 0; "3$

Приклад 1

Скласти

канонічні

параметричні

рівняння прямої

% '2; "3; 5)

що проходить через точку

0

*+

,

./-.

+-

Відповідно до рівняння (3) маємо: *+

,+

./-;

+-

0

(4)

параметричні рівняння

шуканої

Тому

згідно з

1 5 "33,

8

прямої мають вигляд

6 53 " 3.

2 23 2,

1; "2; 1$

та

. ,

Скласти

канонічні

та

Приклад 2

параметричні

рівняння прямої що проходить через дві точки

Для

знаходження

канонічних

рівнянь

прямої

3; 1; "1$

,

тобто:

.

-+:

:/

Звідки

2 1 23 -

використаємо співвідношення (2). Маємо

*+:

,/

+:+:.+:

*+:

,/- .++:

15 "2 338

параметричні рівняння прямої.

6 1 " 23

Приклад 3

Скласти

параметричні

рівняння

"1; 2; 3$

3; 0; 1$ 1; "4; "3$

вершинами

в

точках

середньої

лінії

трикутника

з

, B

,

, що паралельна стороні

AB, та рівняння медіани, проведеної з вершини C.

Запишемо рівняння прямої, що проходить через

середини

відрізків

AC

та

BC. Координати

точки D

(середини відрізка AC) знайдемо як середнє арифметичне

відносних

координат

точок

A

та C:

2<

+:/:

0;

5<

+=

"1;

6<

-+

- 0.

Аналогічно,

серединою

відрізка

BC

є точка

> 2; "2; "1$. Із співвідношення (2)

канонічні

рівняння середньої

лінії

DK мають

вигляд

* ,/:+:

+:. . Згідно з (4) шукані параметричні рівняння

15 "3 " 1,8

P:

;

Серединою

6 "3.

AB

середньої лінії

2 23,

2? +:/- 2

5? / 1; 6?

відрізка

є

точка

-/:

2. Канонічні рівняння медіани CP

мають

вигляд:

*+:

,/=

./-;

*+:

,/=

./-.

:+:

:/=

/-

0

0

CP 15

53 " 4,

Параметричні рівняння медіани

6 53 " 3.

8

2 1,

і

4

2 3 " 1,

Приклад

Знайти кут між прямими */+:

,/0 .+:-

125 "23 " 2,8

(5)

Щоб

6 "23.

необхідно

застосувати

формулу

параметричні рівняння другої прямої перевести в

канонічні. Оскільки

3 2 1

,/+

+. ,

то

канонічні

рівняння другої прямої мають вигляд

*/::

,/+

+. ,

cos

√ ·√E

"

тому

:· +:$/ · + $/:· + $

√ .

Шуканий кут

дорівнює cos+: " √ $ F " G= -=G.

8

загальне рівняння прямої H

2 " 25 36 " 4 0,

вигляду

Приклад 5

Звести

до

канонічного

Оскільки

пряма

32 25 " 56 " 4 0.

,

'1; "2; 3)

'3; 2; "5)

&

перпендикулярна до

нормальних

%

:

:

III J III

векторів

і

, то за напрямний

вектор

прямої можна взяти векторний добуток

тобто

&

:

L&

M&

I

N

I

і тому

% III J III K

1

"2

3

K 4L& 14M& 8N

m=4, n=14,

p=8.

Точку

2

на

2 0

,

якщо

прямій

знайдемо

3

"5

Тому,

.

"25 36 " 4 0,

5 "8,

наприклад

,

:

візьмемо в обох рівняннях,

H

25 " 56 " 4 0, 8P6 "4.8

0; "8; "4$

Отже, канонічні рівняння прямої

мають

вигляд:

*=

,/Q:=

./=Q , або * ,/QR

./== .

*/: ,+ .+:

і площини

точку

.

прямої

Приклад 6

Знайти

перетину

32 " 25 " 3 0

: +:

Перейдемо від канонічних рівнянь прямої до

параметричних:

2, 5, 6

1

5 3 2, 8

,

6 "3 1.

Підставимо значення

2 23 " 1,

у рівняння

знайдемо,

3 23 " 1$. " 2 3 2$ "3 1$ " 3 0

звідки

площини

перетину:

що

Підставивши отримане значення

в

2 5,

,

знайдемо координати точки

параметричні

рівняння прямої

3 3

3

1

5 5,

8

6 "2.

: 2; "3;.

"5$

прямої,

що

площини

Приклад 7

Скласти

рівняння

62 " 35 "

56 2 0

,

проходить через точку

перпендикулярно до

Якщо

пряма

перпендикулярна

площині

то

вектори

I

і

%&паралельні:

.

Тоді

рівняння

вигляд

2

:

:

:

має:

5 6 T 0

прямої,

що

проходить

через

точку

2 ; 5,

; 6 $

перпендикулярно до площини

*+*U ,+,U .+.U.

Рівняння шуканої прямої набуває вигляду: *+V

,/-

.+0/0.

+-

15

Приклад 8

При яких

значеннях

A та

D пряма

1 " 43,

8

,

2 25 " 46 T 0

6 "3 3,

.

2 3 43,

належить площині

?

площини

: 3;.1; "3$

4; "4; 1

I ' ; 2;

"4)

,

Для

Для прямої

0

і

2 5

,

6 T 0

Якщо пряма належить площині

то

4 " 8 " 4 0,

звідки

3; T "23

.

P3 2 12 T 0,8

тобто

проведеного з точки : 2; 3; 1$ на пряму */:

,

.+ .

Приклад 9

Скласти

рівняння

перпендикуляра

, тоді

+:

-

Запишемо

площини

: 2; 3; 1$,

'2; "1; 3) I .

2 2 " 2$

" 1 5 " 3$

3 6 " 1$

0

заданої прямої і що проходить через точку

:

22 " 5 36 " 4 0

’

перетину прямої з

&

Знайдемо точку

площиною

.+-

розв язавши

систему

рівнянь

*/:

+:,

,

8 Рівняння прямої

запишемо

в

W22 " 5 36 " 4 0.

1

5 "3,

8

2, 5, 6

параметричному вигляді:

2 23 " 1,

Підставивши

в

3 0

. Тоді

2 .23 " 1$ 3 3 33 2$ 0

,

"1; 0; 2$

:

та :

,

або

рівняння

площини

6 33 2.

+:+*+ ,++--

.+:+:;

Запишемо рівняння прямої

що

проходить через

дві точки

+-

+-

:

.

*+

,+-

.+:

–

рівняння

перпендикуляра,

опущеного з точки на пряму

2; "5; 7і$

.

, що симетрична точці

Приклад 10

Знайти точку

,

5; 4; 6$

6; 7; 8$

проходить

через

точки :

відносно прямої, що проходить через точки

та :

*+0

,+=

.+V.

Через

точку

:

Запишемо

рівняння

прямої

що

1 2." 2$ 3 5 5$ 2 6 " 7$

0

або

:

2 35 26 " 1

проведемо площину,

перпендикулярну

до прямої

:

:

-

0

Розв’язуючи систему рівнянь W

*+0:

,+=-

.+V

,

8

отримаємо

точку

Y 3; "2; 2$

–

2 35 26 " 1 0,

:

проекцію точки

на

2

пряму

. Із співвідношень

*Z/*[\

;

,Z/,[\

5

;

6

знайдемо

4; 1; "3$

.Z/.[\

.