5.3. Основные соотношения параксиальной оптики |
|
|||
Основные соотношения параксиальной оптики связывают между собой |
||||
фокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое, |
||||
линейное и продольное увеличения. |
|
|
|
|
5.3.1. Вывод зависимости между положением и размером предмета и |
||||
изображения |
|
|
|
|
|
|
f' |
z' |
|
A |
K1 |
K1' |
|
|
2 |
1 |
3' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
−α |
H |
H' |
α′ |
O' |
O |
F |
|
F' |
|
|
|
|
1' |
y′ |
|
K2 |
K2' |
2' |
A' |
- z |
|
|||
- f |
|
|
|
|
|
- a |
|
a' |
|
Рис.5.3.1. Схема для вывода основных соотношений параксиальной оптики. |
||||
Для вывода зависимости между положением и размером предмета и изображения воспользуемся рис.5.3.1. ∆OAF подобен ∆FHK2 , следовательно:
|
y |
= |
|
− z , отсюда |
y′ |
= − |
|
f |
|
|
|
|||||
|
− y′ |
|
|
z |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
f ′ |
|
y |
|
|
||||||||
Тогда, в соответствии с выражением (5.2.1), линейное увеличение можно |
||||||||||||||||
выразить следующим образом: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
β = |
|
y′ |
= − |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.1) |
||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично, из |
|
|
|
|
|
′ ′ ′ |
′ ′ ′ |
|||||||||
подобия треугольников ∆H K1F |
и ∆F O A |
можно |
||||||||||||||
получить выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
β = − |
|
z′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3.2) |
||||
|
|
f ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, увеличение можно выразить как через передние, так и через и задние отрезки. Отсюда можно получить формулу Ньютона:
78
|
|
|
z z′ = |
f f ′ |
(5.3.3) |
|
|
|
Если |
оптическая система находится в |
однородной среде ( n = n′), то |
|
|
||||
f = − f ′, и формула Ньютона получает вид: |
|
||||
|
|
|
z z′ = − f ′2 |
(5.3.4) |
|
Выразим z и z′ через фокусные расстояния и передний (−a) и задний (a′) отрезки:
z′ = a′− f ′ z = a − f
Тогда выражение (5.3.3) можно записать в виде:
(a − f ) (a′− f ′)= f f ′
После преобразований получим выражение, связывающее фокусные расстояния и передний и задний отрезки (формула отрезков или формула Гаусса):
f ′ |
+ |
f |
=1 |
(5.3.5) |
|
a′ |
a |
||||
|
|
|
5.3.2. Угловое увеличение и узловые точки
Теперь рассмотрим угловое увеличение, опять воспользовавшись рис.5.3.1. Из ∆OK1H , видно, что:
tg(−α)= −ya =α , отсюда −α = −ya
Аналогично можно вывести выражение:
α′ = ay′
Теперь можно выразить угловое увеличение через передний и задний отрезки:
W = |
α′ |
= |
y a |
|
= |
a |
|
= |
f + z |
|
(5.3.6) |
|
α |
y a′ |
a′ |
f ′+ z′ |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Выразим z′ из формулы Ньютона (5.3.3), тогда после преобразований получим выражение для вычисления углового увеличения:
W = |
z |
= |
f |
(5.3.7) |
|
f ′ |
z′ |
||||
|
|
|
79
Из выражения (5.3.7) следует, что если выбрать плоскости предмета и изображения таким образом, что z = f ′ и z′= f , то в точках пересечения этих плоскостей с осью угловое увеличение равно единице. Такие точки называются
узловыми точками.
Чтобы найти узловые точки N и N ′, от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние (рис.5.3.2). Отрезки NN ′ и HH ′ равны. Если − f ′= f ( n = n′), то узловые точки совпадают с главными.
F |
−α |
N |
H |
H ′ f |
F′ |
|
f ′ |
N ′ |
α ′ |
|
|
|
|
|
|||
|
Рис.5.3.2. Узловые точки. |
||||
Следствием выражений (5.3.2) и (5.3.7) является следующее соотношение:
β W = − |
f |
|
= |
n |
|
(5.3.8) |
|
f ′ |
n′ |
||||||
|
|
|
|||||
5.3.3. Частные случаи положения предмета и изображения
Рассмотрим различные положения предмета и изображения (различные z
и z′):
• |
z = − f . |
Тогда z′ = − f ′, линейное увеличение β =1, следовательно, |
||||||||
|
предмет и изображение – это главные плоскости. Угловое увеличение |
|||||||||
|
W = − |
f |
|
= |
n |
. |
|
|
|
|
|
f ′ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n′ |
|
|
|
||||
• |
z = f ′. Тогда z′ = f , угловое увеличение W =1, следовательно, предмет |
|||||||||
|
и изображение – это узловые точки. Линейное увеличение β = − |
f |
= |
n |
. |
|||||
|
f ′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n′ |
||
• |
z = f . Тогда z′ = f ′, линейное увеличение β = −1, угловое увеличение |
|||||||||
W = ff ′ = − nn′ , следовательно, предмет находится на двойном фокусном
расстоянии, то есть расстояние между предметом и изображением минимально.
80
• z = 0 . Тогда z′= ∞, линейное увеличение β = −∞, угловое увеличение W = 0 , следовательно, предмет находится в переднем фокусе, а изображение – в бесконечности.
• z′= 0 . |
Тогда z = −∞, линейное увеличение β = 0, |
угловое увеличение |
W = ∞, |
следовательно, предмет находится на |
бесконечности, а |
изображение – в заднем фокусе. |
|
|
5.3.4. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым
А |
l |
A |
F |
F ′ |
А′ |
l′ |
A′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
− z |
z1′ |
1 |
|
− z |
z′ |
Рис.5.3.3. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым.
Рассмотрим рис.5.3.3. Длину отрезков l и l′ можно выразить следующим образом:
l = z1 − z l′= z′− z1′
По определению продольного увеличения (5.2.4):
Q = l′ = z′− z1′ l z1 − z
После преобразований, с учетом выражений (5.3.1) и (5.3.2), получим:
Q = − |
|
f ′ |
|
β β1 |
(5.3.9) |
|
|
f |
|||||
|
|
|
|
|
||
где β и β1 – поперечные (линейные) увеличения в точках A′ и A1′. |
||||||
Или, с учетом выражения (5.2.5): |
|
|||||
Q = |
n′ |
β β1 |
(5.3.10) |
|||
|
||||||
|
n |
|
|
|||
Теперь |
рассмотрим продольное увеличение |
для бесконечно малых |
||||
отрезков ( l → 0 , l′→ 0 ) (по определению это и есть продольное увеличение). В этом случае линейное увеличение в точках A′ и A1′ будет одинаковым, следовательно:
81