Уравнения Максвелла описывают векторное поле. Вектор электрической напряженности перпендикулярен вектору магнитной напряженности, и оба они перпендикулярны направлению распространения света (рис.1.2.2), поэтому такое поле называется поперечным.

E

S

H

Рис. 1.2.2 . Взаимное расположение векторов электрической (E) и магнитной (H) напряженности и направления распространения света (S).

1.3. Математическое описание электромагнитных волн

Распространение электромагнитного поля в пространстве – это волновой процесс, описание которого можно получить из уравнений Максвелла (1.2.1). Уравнения Максвелла описывают свойства электромагнитных волн в наиболее общем случае, но их непосредственное использование не всегда удобно. Поэтому для случая линейных и однородных сред можно получить более простые волновые уравнения, из которых следуют все законы геометрической оптики.

1.3.1. Волновые уравнения

В оптике часто рассматривают изменение электрического и магнитного полей независимо друг от друга, и тогда векторный характер поля не является существенным, а электромагнитное поле можно рассматривать и описывать как скалярное (подобно звуковому полю). Скалярная теория значительно проще векторной, и вместе с тем дает возможность достаточно глубоко анализировать распространение световых пучков и процессы образования изображения в оптических системах. В геометрической оптике скалярная теория широко используется именно благодаря тому, что электрическое и магнитное поля в этом случае могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.

Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемого через производную по времени от магнитной индукции:

8

Воспользовавшись выражением (А.15) из Приложения А, получим:

( E)− 2 E = −εµ∂ 2E

∂t 2

(4, 5). Тогда получим волновое уравнение для электрической составляющей

поля:

или

2E −εµ ∂ 2 E = 0

∂t 2

9

Рассуждая аналогичным образом, можно получить волновое уравнение

для магнитной составляющей поля:

Из уравнений Максвелла следует, что каждая из составляющих Ex , Ey , Ez

вектора E подчиняется абсолютно одному и тому же скалярному уравнению. Поэтому, если требуется знать изменение только какой-нибудь одной из составляющих вектора E , мы можем рассматривать векторное поле как скалярное. Перед тем, как окончательно перейти к скалярной теории, следует заметить, что составляющие вектора E не являются независимыми функциями, что вытекает из условия E = 0. Поэтому, хотя скалярные волновые уравнения являются следствием уравнений Максвелла, обратно перейти от них к уравнениям Максвелла нельзя.

Пусть скалярная величина V – это любая из составляющих электрического вектора: ( Ex , Ey или Ez ). Иными словами, это возмущение поля в какой-то

точке пространства в какой-то момент времени V (x, y, z,t). Тогда можно записать волновое уравнение в общем виде:

где 2V – вторая производная возмущения по пространственным координатам,

∂2V2 – вторая производная возмущения по времени.

∂t

10

Смысл этого уравнения заключается в том, что волна образуется тогда, когда у некоторого возмущения вторая производная по пространственным координатам пропорциональна второй производной по времени.

Можно показать, что скорость распространения волны для диэлектриков связана с электрической и магнитной проницаемостями среды следующим образом:

Тогда общий вид волнового уравнения можно записать следующим образом:

Волновое уравнение для одной оси координат:

Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется

показателем преломления данной среды по отношению к вакууму (index of refraction):

1.3.2. Монохроматическое поле

Монохроматическое поле – это поле, зависящее от времени по

где a(r) – амплитуда возмущения (функция пространственных координат),

ω– циклическая частота изменения поля во времени,

ϕ0 (r) – фаза поля (функция пространственных координат).

11

Рис.1.3.1. Изменение монохроматического поля во времени.

Монохроматическое поле также характеризуется периодом колебаний T

Излучение с определенной длиной волны обладает соответствующим цветом (рис.1.3.2).

Постоянными характеристиками, не зависящими от показателя преломления, для монохроматического поля являются: частота ν , циклическая частота ω и период колебаний T . Длина волны λ и волновое число k меняются в зависимости от показателя преломления, так как меняется скорость

12

распространения света в среде (υ = c n). Итак, частота в среде всегда

сохраняется, а длина волны изменяется. Длину волны и волновое число в некоторой среде с показателем преломления n можно определить так:

λ = λ0

n (1.3.16) k = k0 n

где λ0 – длина волны в вакууме, k0 – волновое число в вакууме.

Иногда при описании монохроматического поля вместо фазы ϕ0 используют другие понятия. Введем в выражение для волнового возмущения волновое число k0 вместо циклической частоты ω :

В отличие от фазы поля эйконал более удобная величина для оценки изменения фазы от луча к лучу, так как непосредственно связан с геометрической длиной хода луча.

Оптическая длина луча n l (optical path difference, OPD) – это произведение показателя преломления n на геометрическую длину пути l .

Приращение эйконала равно оптической длине луча:

13