Ред.подг.по отр.зн.тексты лекций

Исследуем приведенные выше функции логики высказываний и тем самым охарактеризуем основные смысловые связи между высказываниями.

Отрицание. Функция высказывания (p) представляет собой абстрактную схему тех многочисленных реальных операций отрицания высказываний, которые так часто встречаются в мышлении и речи. Поставив вместо p какоенибудь истинное высказывание (например, Книга — учитель и друг), мы получим ложное высказывание (Неправда, что книга — учитель и друг или Книга — не учитель и друг).

Подставив вместо p какое-нибудь ложное высказывание

(например, Книга — предмет не материальный), мы получим истинное высказывание (Неправда, что книга — предмет не материальный или Книга — не является предметом материальным). Таким образом, отрицание истинного высказывания дает ложное высказывание, а отрицание

функции отрицания от истинного значения аргумента может быть выражена следующей таблицей (матрицей).

ИЛ

ЛИ

Влевом столбце матрицы записаны значения аргумента (т.е. любого высказывания), в правом — истинное значение функции.

Эта таблица и устанавливает однозначно смысл логического отрицания. В принципе значение этой функции совпадет с тем значением, которое придает отрицанию в естественном языке: возражая кому-либо в споре, опровергая какое-либо высказывание (то есть считая его ложным), мы обычно делаем это при помощи отрицания.

Переменную p можно заменять не только простыми, но и сложными высказываниями. Подставив вместо p сложное высказывание. Если хочешь летать, стань стюардессой, мы получим новое (ложное) высказывание Неправда, что если хочешь летать, стань стюардессой, структура которого соответствует

164

выражению p→r. Знак отрицания в таких случаях ставится над всем выражением.

Конъюнкция. Функция конъюнкции (p^q) представляет собой абстрактную схему различных высказываний, две части которых связаны союзом « и». Особенностью конъюнкции является то, что обе части высказывания, соединенные союзом « и», истинны. Если одна из частей высказывания или они обе ложны, все высказывание в целом примет значение « ложно». Эта весьма распространенная связь фиксируется в следующих, например, высказываниях:

Прошло более трех тысячелетий (p), и человечество отказалось от несовершенных по результатам методов обработки стекла (q).

Солнце пекло невыносимо (р), и с утра дул теплый ветер (q). Стояла полная тишина (р), и пели птицы (q).

Париж стоит на Неве (р), и Санкт-Петербург стоит на Сене (q).

Из приведенных примеров видно, что в обыденной речи союз « и» употребляется в самых различных ситуациях — при описании последовательности некоторых событий во времени (произошло одно событие и вслед за ним произошло другое); при описании одновременности событий (имело место одно событие и одновременно имело место другое); в тех случаях, когда нескольким предметам приписывается один и тот же признак (один предмет имеет данный признак и другой предмет имеет этот же признак) или одному предмету приписывается несколько признаков (предмет обладает таким-то признаком и таким-то). Все приведенные выше высказывания объединены одним общим свойством: в них утверждается, что имеют место равным образом как факт, описанный в первой части высказывания, так и факт, описанный во второй его части, то есть обе эти части (оба простых высказывания, соединенных союзом « и») истинны. Эта особенность конъюнкции и выражена в ее матрице:

Словом « конъюнкция» обозначается как связь между высказываниями, выражаемая обычно союзом « и», так и все сложное высказывание, полученное таким путем. В аналогичном смысле употребляются также выражения « конъюнктивная связь» и « конъюнктивное высказывание». Высказывания,

соединенные союзом « и», называются членами конъюнкции. Конъюнкция может связывать не только два, но и три,

четыре и вообще сколько угодно высказываний, как простых, так и сложных. Вот примеры символических выражений, основанных на конъюнктивной связи: p^q^r^s, (p→q)^(r→s)^(t→u), p^(q→r)^s.

Конъюнкция, состоящая из большого числа высказываний (многочисленная конъюнкция), является истинной только в случае истинности всех высказываний; достаточно, чтобы хоть одно из многих высказываний, соединенных союзом « и», было ложным, чтобы вся конъюнкция в целом оказалась ложной.

Следует помнить, что если в обыденной речи логическому союзу « и» соответствует не только грамматическое « и», но и союзы « а», « но», « да», « хотя», то в логическом отношении все они выражают одну и ту же связь и поэтому равнозначны союзу « и». Поскольку в сложном предложении простые, входящие в его состав предложения иногда разделяются запятой, то и этот знак при определенных условиях может рассматриваться как выражение конъюнктивной связи. В самом деле, в

высказываниях Пошел снег, и вскоре все вокруг стало белым и Пошел снег, вскоре все вокруг стало белым знаки « и», «»,

выполняют, по существу, одну и ту же логическую функцию. В зависимости от ситуации такую же роль могут играть многоточие

(Пошел снег… Вскоре все вокруг стало белым), точка с запятой или просто точка.

На основании конъюнкции редактор должен запомнить одно из важнейших правил редактирования: тщательно проверять истинность каждого высказывания, входящего в состав текста, если эти высказывания связаны логическим союзом « и». По правилу конъюнкции одно ложное высказывание, по существу, делает ложным весь текст такого рода.

Функция дизъюнкции (p q); (p · q) представляет собой абстрактную схему различных высказываний, называемых иногда разделительными.

Связь между высказываниями, при которой истинность одного простого высказывания не исключает истинности другого, называется слабой дизъюнкцией (p q). Связь между высказываниями, при которой истинность одного простого высказывания исключает истинности другого, называется сильной (p · q) дизъюнкцией.

Слабая дизъюнкция является истинной в том случае, когда истинно по крайней мере одно из высказываний, входящих в ее состав.

Если слабая дизъюнкция объединяет не два, а большее количество высказываний, то для истинности всего выражения в целом достаточно, чтобы истинным было хотя бы одно из этих высказываний.

Цветы лучше всего собрать утром (p) или вечером (q).

Сильная дизъюнкция является истинной в том случае, когда одно из высказываний, входящих в ее состав, является истинным, а другое — ложным.

Если сильная дизъюнкция объединяет не два, а большое количество высказываний, то для истинности всего выражения в целом необходимо, чтобы истинным было только одно из высказываний безразлично, какое именно), а все другие — ложными.

Либо европейцы встречают Новый год зимой (р), либо Новый год наступает в ночь с 31 декабря на 1 января (q).

167

Либо мы плывем этим пароходом через Бомбей (р), либо нам придется остаться здесь еще на две недели в ожидании лейтенанта Андреа (q).

Это случится теперь (р) или никогда (q).

Двоякое (по меньшей мере) употребление союза « или» является наглядным примером одного из « несовершенств» естественного языка. Для того, чтобы установить значение выражаемой союзом связи, редактору рекомендуется тщательно анализировать контекст, чтобы выяснить значение связи по каким-либо дополнительным данным.

Импликация. Функция импликации (p→q) представляет собой абстрактную схему различных реальных высказываний, построенных при помощи союза « если… то» и называемых иногда условными. Термин употребляется для обозначения как самой связи, соответствующей союзу « если… то», так и сложного высказывания, образованного таким путем. Аналогичный смысл придается выражениям « импликативная связь» и « импликативное высказывание».

Связь, выражаемая союзом « если… то», также принадлежит к числу весьма распространенных. Рассмотрим несколько высказываний, имеющих следующую структуру.

Слепой знал, что в комнату смотрит солнце, и что если он протянет руку в окно (р), то с кустов посыплется роса (q).

Если не поливать цветы (p), то они завянут (q). Если слышна сирена (p), то где-то пожар (q).

Каждое из импликативных высказываний содержит две части: часть, расположенная между словами « если» и « то», называется основанием импликации; часть, расположенная после слова « то», называется следствием импликации. Импликация ложна только в том случае, когда основание истинно, а следствие ложно, т. е. для того, чтобы импликация была истинной, достаточно, чтобы следствие было истинным или чтобы основание было ложным.

168

Высказывание в целом окажется ложным только в одном случае: если его основание истинно, а следствие ложно. Эта зависимость между истинностью импликации, с одной стороны, и истинностью его основания и следствия — с другой, и выражается матрицей функции импликации.

Таким образом, импликация ложна только в том случае, когда основание истинно, а следствие ложно. Другими словами, для того чтобы импликация была истинной, достаточно, чтобы следствие было истинным или чтобы основание было ложным.

Логическое значение импликации связано с точно определенным положением ее составных частей: основание и следствие нельзя поменять местами без ущерба для значения импликации в целом. Например, высказывание Если число делится на 100, то оно делится на 10 является истинным; высказывание же Если число делится на 10, то оно делится и на 100 является ложным. Таким образом, выражение p→q не равнозначно выражению q→p.

Анализируя текст, нужно иметь в виду, что импликация не всегда явно выражена при помощи союза « если… то». Иногда

тире. Например: Если буду свободен, зайду к тебе, Буду свободен — зайду к тебе, Когда буду свободен, зайду к тебе. В

то же время словосочетание « если… то» не всегда выражает импликацию. Рассмотрим, например, следующее высказывание:

Если февраль был морозный, то март напомнил о весне. В

этом высказывании словосочетание « если… то» играет роль конъюнкции (Февраль был морозный, а март напомнил о весне).

Эквивалентность. Истинные высказывания, которые останутся истинными в том случае, если их основание и следствие поменять местами, называются высказываниями эквивалентности.

169

Высказывание эквивалентности является истинным в том случае, когда обе его части имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда обе они являются вместе истинными или вместе ложными.

Около трапеции можно описать окружность в том и только том случае (q), если она равнобочная (p).

Никто не чистит зубы тогда и только тогда (p), когда каждый хочет иметь здоровые зубы (q).

Итак, высказывание эквивалентности является истинным в том случае, когда обе его части имеют одно и то же истинностное значение, то есть когда обе они являются вместе истинными или вместе ложными.

Знаком « ≡», так же как и другими постоянными, можно связывать не только простые, но и сложные высказывания. Например, отношение между эквивалентностью и импликацией может быть записано так: (p≡q)≡[(p→q)^(q→p)].

170

ТЕМА 2. (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Лекция 22. Формулы логики высказываний

План

1. Проверка формул логики высказываний методом « И — Л» 2.Всегда истинные высказывания.

Установив значение логического отрицания и основных связей между высказываниями выражаемых логическими постоянными —, ^, , →, ≡, · ), мы можем теперь любой более или менее сложный текст, поддающийся логическому анализу, представить в виде символической схемы, в абстрактной форме выражающей его строение. Рассмотрим следующий текст: В

Москве в 2003 были изданы новые произведения Акунина. Весь основной и дополнительный тираж мгновенно реализован. Он состоит из двух высказываний. Обозначим первое из них переменной р. Второе высказывание можно рассматривать как сложное, состоящее из двух простых: Весь основной тираж мгновенно реализован и весь дополнительный тираж мгновенно реализован. Обозначим эти простые высказывания соответственно символами q и r. Второе высказывание текста, таким образом, может быть выражено схемой q^r. Связь между первым (простым) и вторым (сложным) высказываниями, выраженная в тексте точкой, является, очевидно, также конъюнкцией. Поэтому весь текст в целом может рассматриваться как одно сложное высказывание, состоящее…

При принятых нами символических обозначениях рассматриваемый текст выразится формулой p^q^r, где p, q, r, соответствуют простым высказываниям, а ^ обозначает связь между ними. Формула p^q^r, как это видно из характеристики конъюнкции, принимает значение « истинно» только в том случае, если это же значение имеют р, q, r. Достаточно, чтобы хоть одно из высказываний оказалось ложным (например, если остался в живых один из членов экипажа), и все высказывание в целом (то есть весь текст) также приобретет значение « ложно».

Однако чтобы получить формулы такого рода, совсем не обязательно « извлекать» их из текстов путем формализации

171

последних. Обладая соответствующей символикой, т. е. зная символические обозначения высказываний (логические переменные) и связей между ними (логические постоянные), мы можем произвольно создавать выражения, являющиеся формулами теории высказываний, не думая при этом, к каким конкретным текстам эти формулы могут быть отнесены. Таким путем мы можем получить бесчисленное множество формул. Таковы, например, следующие формулы:

1) p→(q^p), 2) p · (p≡q), 3) [(p→q)^q]→p, 4) p (q^p),

5) p→(q^r), 6) p≡(q^r^s), 7) p p, 8) p^p, 9) [(p→q)^p]→q.

Пользуясь свойством символического языка, мы можем оперировать этими формулами как самостоятельными выражениями, безотносительно к возможности их интерпретации на материале каких бы то ни было текстов. Так, зная, что эквивалентность может быть выражена как конъюнкция двух импликаций, мы при желании можем преобразовать формулу 2) следующим образом:

p · (p≡q), p · [(p→q)^(q→p)].

Различные преобразования возможны по отношению ко всем приведенным здесь формулам.

Очевидно, что значение формулы в целом определяется значениями логических переменных и характером связей между ними. Придавая произвольно переменным значения « истинно» и « ложно», мы будем всякий раз получать соответствующее значение всего выражения в целом. Для облегчения этой операции мы воспользуемся методом « истинно» — « ложно» (сокращенно методом « И — Л»), который заключается в том, что вместо переменной ставится символ « И», если этой переменной придается значение « истинно», и символ « Л», если переменной придается значение « ложно». Пользуясь этим методом и придавая поочередно всем переменным одно из двух возможных значений истинности, мы получим формулы, состоящие из символов « И» и « Л», соединенных логическими постоянными. Зная значение основных функций, выражаемых постоянными, мы без труда установим значение всего выражения в целом. Так, формула « И^И» соответствует конъюнкции двух истинных высказываний и, согласно определению конъюнкции, принимает значение « истинно», а

172