§14. Векторное произведение векторов в координатной форме

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы =

(x₁,y₁,z₁),=(x₂,у₂,z₂). Из определения векторного произведения легко установить следующие соотношения для векторов ,,(Рис. 27):

x=x==x=0 (1.35)

x=;x=;x=.

Из свойства векторного произведения векторов, получаем:

Рис.28

=(x₁+y₁+z₁)х(x₂+y₂+z₂)=x₁y₂(х)+

34

Последнее равенство можно записать символически как определитель третьего порядка в его разложении по элементам первой строю, т.е.

(1.36)

Итак,

(1.37)

Тогда

(1.38)

ПРИМЕР 1.1. Векторы =(-3,-2,6) и=(-2,4,4) служат сторонами треугольника АВС. Найти высоту AD треугольника АВС. РЕШЕНИЕ. Найдем площадь треугольника АВС.

С другой стороны, . Следовательно,

35

§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы =

(х₁,у₁,z₁), =(x₂,y₂,z₂) и(x₃,y₃,z₃)тогда

Теперь, используя равенство (1.34). можно записать, что

(1.39)

Из (1.39) следует, что векторы ,икомпланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

=0. (1.40)

§16. Полярные координаты

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем

полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами:r-длина отрезка ОМ и (φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки (Рис. 28). Величиныrи (φ называются полярными координатами течки

Рис.28

М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах:. Таким образом получаем систему

36

координат, которая называется полярной системой координат.

Рассмотрим одновременно такую прямоугольную систему координат, для которой полюс полярной системы совпадает с началом декартовой, а полярная ось направлена в положительном направлении с осью ОХ. Пусть в прямоугольной системе координат точка имеет координаты х и у. Тогда, очевидно,

х=rcosφ, у=гsinφ (1.41)

формулы, выражающие прямоугольные координаты через полярные. Так как х²+у²=r², то

(1.42)

формулы, выражающие полярные координаты через прямоугольные.

ПРИМЕР 1.2. Найти полярные координаты точки. М(, -1).

РЕШЕНИЕ. и так какx>0, y>0

То

Итак, r=2, φ=11π/6

§17. Цилиндрические координаты

Пусть в плоскости α определена полярная система координат с полюсом 0 и полярной осью ОХ. Проведем ось OZ, перпендикулярную плоскости α и направленную так, чтобы положительное вращение в плоскости α (т.е. против часовой стрелки) наблюдалось с конца полуоси OZ, против часовой стрелки (Рис. 29). Тогда положение произвольной точки М в пространстве можно задать упорядоченной тройкой чисел r, φ, z, гдеrи φ - полярные координаты точки М₁, являющейся ортогональной проекцией точки М на плоскость α, z - ортогональная проекция точки М на ось OZ. Эта упорядоченная тройка чисел называетсяцилиндрическими координатами

37

точкиМ.

Цилиндрические координаты изменяются в следующих пределах:

Установим связь между цилиндрическими и прямоугольными координатами. Для этого расположим оси прямоугольной система OXYZ так, как указано на рис. 29. Тогда декартовы координаты х, у, z точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами r, φ, z соотношениями:

Х=rcosφ. у=rsinφ

z = z. (1.43)

Отметим, что наименование "цилиндрические координаты" связано

Рис.29

с тем, что все точки пространства,которые имеют одно и то же значение координаты г, расположена на цилиндре.