§8. Координаты на прямой

Прямая l, на которой задана точка 0. называемаяначаломко-ординат,задан единичный вектор, называемыйортом, называется координатной осью.

Пусть М - произвольная точка прямой. Тогда вектор кол-

линеарен вектору и, значит,. Векторназываетсярадиус-векторомточки М, а число х называетсякоординатойточкиМ на координатной осиl(обозначается: М(х)) или координатойрадиус-вектора(обозначается:=(х)).

Так как - единичный вектор, то каждой точке М на осиlпоставлено в соответствие вполне определенное действительное число - ее координата.

Обратно, для каждого действительного числа х найдется единственная точка М осиl, коорди ната которой равна х (Рис. 22). Таким образом, положение любой -точки координатной оси однозначно определяется заданием координаты этой точки.

Рис.22

26

§9. Координаты на плоскости

Пусть на плоскости α заданы две координатные оси ОХ и OY с

неколлинеарными ортами ccоо тветственно (Рис. 23). Тогда тройка (О,,)называетсяафиннымреперомилиафиннойсистемойкоординатплоскости α.

Точка 0 называется началом ко оpдинат, векторы и- базисными векторами. Если М - произвольная точка на плоскости α, то из теоремы 1.7 следует, что

Рис. 23

Числа х и у называются афиннымикоординатамиточки М в системе (0,,), причем х называется абсциссой, а у - ординатой

(записывается: М(х,у)). Вектор называетсярадиус-векторомточки М, числа х, у -координатамивектора ОМ (записывается:ОМ=(х,у)).

Афинная система координат (0,,) обозначается также OXY. Ось ОХ называетсяосьюабсцисс, ось OY -осьюкоординат.

Так как векторы иявляются проекциямисоответственно на оси ОХ и OY, то из теоремы 1.2 следует

ТЕОРЕМА 1.11. Пусть =, где

. Тогда

(1.14)

(1.15)

27

Доказательство.

Аналогичным образом доказывается равенство (1.15).

СЛЕДСТВЙЕ 1. Пусть даны точки А(х₁,y₁) и В(х₂,у₂). Тогда

(1.16)

Доказательство. Очевидно, что (Рис. 24). Так

Рис.24

как =(х₁,у₂) и=(х₂,у₂), то из теоремы 1.11 следует требуемое равенство (1.16).

СЛЕДСТВИЕ 2. Два вектора =(х₁,у₁) и=(х₂,у₁) коллине арны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

Доказательство. По теореме 1.1 , где. Тогда из теоремы 1.11 следует, что х₂=λx₁и у₂=λy₁ , т.е.

(1.17)

Афинная система координат (0,,). в которой ортыивзаимно ортогональны, называетсядекартовойилипрямоугольной

системойкоординат. В этом случае ортыиобозначаются соответственно и.

28

§10. Координаты в пространстве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть в пространстве заданы три координатные оси OX, OY и OZ с некомпланарными ортами ,,соответственно. Тогда четверка (0,,,) называетсяафинным реперомилиафинной системой координатв пространстве.

Точка 0 - начало координат, векторы,,-базисные векторы.

Так как векторы ,,- линейно независимы, то для

любого вектора имеет место разложение:

=x+y+z

Числа x, y, zназываютсякоординатамиточки М (записывается: М(х,у,z)),называется радиус-вектором точки М с координатами х, у,z(записывается: ОМ = (х,у,z)), причем х называетсяабсциссой, у -ординатой,z-аппликатой.

Афинную систему часто обозначают через OXYZ. Оси OX, OY, OZ называют соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, определяемые координатными осями, т.е. OXY, OYZ, OXZ, называюткоординатными плоскостями. Эти плоскости делят все пространство на восемь частей, называемыхкоординатными октантами. Если упорядоченная тройка векторов,, является правой, то афинную систему называютправой, в противном случае -левой. В дальнейшем под афинной системой будем понимать правую систему. Если базисные векторы,, попарно взаимно ортогональны, то афинная система координат называетсядекартовой (прямоугольной), а базисные векторы обозначается соответственно.

Как и для случая плоскости в пространстве имеет место аналог теоремы 1.11. В частности, если даны точки А(х₁,у₁,z₁) В(х₂,у₂,z₂),то

(1.18)

29

Векторы =(х₁,у₁,z₁)и=(х₂,у₂,z₂) коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

(1.19)