- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Скалярное произведение векторов.
- •§5. Векторное произведение двух векторов
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Координаты на прямой
- •§9. Координаты на плоскости
- •§10. Координаты в пространстве
- •§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •§13. Определители второго и третьего порядков
- •§14. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •§16. Полярные координаты
- •§17. Цилиндрические координаты
- •§18. Сферические координаты
- •§19. Преобразование координат
- •§20. Прямоугольные координаты на плоскости
- •Iiпрямая на проскости
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках
- •§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
- •§4. Взаимное расположение двух прямых.
- •§5. Пучок прямых
- •§6. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§8. Угол между двумя прямыми
- •§9. Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость
- •§1. Общее уравнение плоскости
- •§3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •§4.Нормальное уравнение плоскости
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§7. Пучок и связка плоскостей
- •§8. Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве.
- •§1. Уравнение прямой в пространстве
- •§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
- •§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •§6, Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§7. Угол между прямой и плоскостью
§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть прямые l1иl2заданы каноническими уравнениями
Обозначим ==(х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),
(m2,n2,р2), и рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих прямых.
1) если прямые совпадают, то все три вектора ,,коллинеарны (Риc.60,а).
2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора иколлинеарны, а векторим не коллинеарен (Рис.60,б).
3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов ,
77
,не коллинеарны, и все три вектора компланарны (Рис.60,в) 4) ecли прямые скрещиваются, то векторы,,некомпланарны.
Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l1 иl2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и.
Следовательно,
(4.8)
необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.
M1m2+n1n2+p1p2=0 (4.9)
- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямые l1иl2пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо (^,) либо (-^,). Следовательно,
(4.10)
ПРИМЕР 4.2. При каком значении λ пересекаются прямые
РЕШЕНИЕ. Обозначим M1(-2,0,1),М2{3,1,7). Тогда условием пересечения прямых является компланарность векторов =(2,3,4),=(0,4,2) и=(5,1,6). То есть
, откуда λ=3.
78
§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пусть требуется найти расстояние от точкиM1(x1,у1,z1) до;
данной прямой ,
проходящей через точку M0(х0,у0,z0) направляющим вектором= (m, n, p)
(рис.61)следует, что.
Так как , то окончат
телыю получим
(4.11)
ПРИМЕР 4,3. Найти расстояние между параллельными прямыми
РЕШЕНИЕ. Очевидно, что искомое расстояние равно расстоянию от произвольной точки, лежащей на первой прямой, до второй прямой. Тогда, согласно (4.11), возьмем M0(-7,5,9),M 1(-12,
0,-34) и=(3,-1,4). Следовательно,(-5,-5,43), ||==. Нетрудно подсчитать, что, т.е. искомое расстояние
79
§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
Пусть плоскость α проходят через прямые l1иl2, заданные соответственно уравнениями
, (4.12)
Обозначим М2(x2,y2,z2), =(m1,n1,р1),=(m2,n2,p2)
(Рис. 82). Возьмем произвольную точку М(х,у,z), принадлежащую плоскости α.
Тогда векторы икомпла-
арны, следовательно их смешанное произведение равно нулю. Итак
(,,) = 0 (*)
и соотношению (*) удовлетворяют те и только те точки пространства, которые принадлежат α. Равенство (*) в коорди
натной форме примет вид
(4.13)
уравнение плоскости, проходящей через две прямые.
80
§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
Пусть прямые l1и l2, заданные уравнениями вида (4.12),
являются скрещивающимися. Тогда расстоянием d между ниш называется АЛИН перпендикуляра, проведенного из одно прямой на другую. Заметим, что искомое расстояние равно отрезку перпендикуляра, закаченного между плоскостями α1и α2, где плоскости α1и α2одновременно параллельны векторами, и проходят соответственно через прямыеl1иl2(Рис.63). Согласно (4.13) уравнение плоскости и имеет вид
Найдем теперь и как расстояние от точки M1(х1,у1,z1) до
плоскости α2. По формуле (3.8)
(4.14)
Заметим, что (4.14) можно записать в равносильной форме так;
(4.15)
81
ПРИМЕР 4.4. Найти расстояние между прямыми
РЕШЕНИЕ. Обозначим =(-28,1,-5),=(3,4,-2),= (6,-4,-1) Тогда
следовательно, прямые l1иl2являются скрещивающимися. Нетрудно подсчитать, что
Значит, d = 507/39=13.