- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Скалярное произведение векторов.
- •§5. Векторное произведение двух векторов
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Координаты на прямой
- •§9. Координаты на плоскости
- •§10. Координаты в пространстве
- •§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •§13. Определители второго и третьего порядков
- •§14. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •§16. Полярные координаты
- •§17. Цилиндрические координаты
- •§18. Сферические координаты
- •§19. Преобразование координат
- •§20. Прямоугольные координаты на плоскости
- •Iiпрямая на проскости
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках
- •§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
- •§4. Взаимное расположение двух прямых.
- •§5. Пучок прямых
- •§6. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§8. Угол между двумя прямыми
- •§9. Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость
- •§1. Общее уравнение плоскости
- •§3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •§4.Нормальное уравнение плоскости
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§7. Пучок и связка плоскостей
- •§8. Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве.
- •§1. Уравнение прямой в пространстве
- •§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
- •§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •§6, Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§7. Угол между прямой и плоскостью
§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть в афтой системе координат (0, X, Y) задана прямаяl, ее
направлящий вектор =(m,n) u точкаM0(x0,y0)принадлежащаяl(Рис. 41). Тогда для произвольной точки M(x,у) этой прямой имеем
и так как то
. (2.13)
Рис.41
где t-какое-либо число, называемое параметром. Очевидно. что для любой точки прямой выполняется равенство (2.13). Обратно, если t-произвольное число и выполняется равенство (2.13). то
точка Mлежит на прямойl. Если обозначитьи
радиус-векторы соответственно точек M и M0, то равенство (2.13) примет вид
(2.14)
уравнение прямой в векторной форме.
51
Так как =(х,у),=(х0,у0), то уравнение (2.14) равносильно следующей систем равенств:
x=x0+mt,
(2.15)
y=y0+nt
- параметрическое уравнение прямой.
Равенство (2.15) можно записать в следующем виде;
(2.16)
- каноническое уравнение прямой. Заметим, что равенство (2.16) является отношением пропорциональности, поэтому одно из значенийmилиnможет быть нулевые.
Наконец, если на прямой lзаданы две точкиM1(х1,у1) и
M2(x2,у2), то вектор=(х2-х1,y2-у1) является направленным вектором прямойlи уравнение (2.16) принимает вид:
(2.17)
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
§4. Взаимное расположение двух прямых.
Пусть прямые l1и l2заданы своими общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0, (l1)
(2.18)
А2х+В2у+С2=0, (l2)
Исследуем все возможные случаи их взаимного расположения в зависимости от значений коэффициентов Аi,BiиCi,i=1, 2.
ЛЕММА 2.1. Угловые коэффициенты прямых l1иl2либо равны, либо не существуют тогда и только тогда, когда
А2=λA2, В1=λB2(2.19)
52
для некоторого действительного числа 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть угловые коэффициенты
L1иl2равны. Тогда -A1/B1=-A2/B2. Если А не равно 0, то
A1/A2=B1/B2=λ и, значит, имеют место равенства (2.19).Если же A2=О, то и А1=0. В этом случае λ=B1/B2, т.е. равенства (2.19)
выполняются. Пусть теперь угловые коэффициенты прямых не существуют. Тогда В1=В2=0. Следовательно, λ=A1/A2и равенства 9)
(2.19) выполняются. Заметим, что случай, когдаA2=0, невозжен так как B2=0. Итак, необходимость доказана.
Достаточность. Пусть имеют место равенства (2.19).
Если Следовательно,
Это и означает, что угловые коэффициенты прямых l1иl2равны. Если же В1=0, то и В2=0, т.е. угловые коэффициенты прямых не существуют. Лемма доказана.
ТЕОРЕМА 2.2. Пусть пряже l1иl2заданы уравнениями (2.18). Тогда и только тогда:
1) прямые пересекаются, когда не существует такого числа λ, что
A1=λA2, В1=λB2;
2) прямые совпадают, когда найдется такое число λ, что
А1=λA2,B1=λB2, С1=λС2;
3) прямые различны и параллельны, когда найдется такое числе λ, что
А1=λA2, В1=λВ2, С1λС2.
Доказательство. Необходимость. 1) если прямые пересекаются
53
то, очевидно, их угловые коэффициенты не равны, либо один из них существует. Значит, по лемме 2.1 не существует такого числа λ,
что А1=λА2,а В1=λB2.
2) пусть прямые l1иl2совпадают, следовательно, по лемме 2.1 А1=λA2,B1=λB2для некоторого числа λ. Тогда для любой
общей точки М0(х0,у0) этих прямых из (2.19) следует, что
λA2x0+λB2y0+C1=0,
λA2x0+λB2y0+C2=0.
Вычтем из первого равенства второе. Получим
С1-λС2=О т.е. С1=λС2.
Достаточность. 1) пусть не существует такого числа λ, что
А1=λA2и В1=λВ2. Тогда, в силу леммы 2.1, угловые коэффициенты прямых не равны, либо один из них существует, и, значит, прямые пересекаются.
2) уравнение прямой l2можно записать в виде
λA2x+λB2y+λC2=0, т.е.A2x+B2y+C2=0.
Это и означает, что прямые l1иl2совпадают.
Докажем необходимое и достаточное условие п. 3) теоремы. Если прямые l1иl2различны и параллельны, то по лемме 2.1
А1=λA2и В1=λB2.
Если С1=λС2, то из п. 2) следует, что прямые совпадают. Противоречие, которое показывает, С1λC2.
Пусть теперь А1=λA2, В1=λB2 иC1λС2. Тогда из леммы 2.1 следует, что прямые параллельны. Если они совпадают, то, в силу п. 2), С1=λC2. Противоречие с условием. Итак, прямые параллельны и не совладеют. Теорема доказана.
54