- •Краткий курс лекций по геометрии и алгебре
- •Глава 1. Векторы и координаты
- •§ 1. Понятие вектора
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Скалярное произведение векторов.
- •§5. Векторное произведение двух векторов
- •§6. Смешанное произведение векторов
- •§7. Линейная зависимость векторов
- •§8. Координаты на прямой
- •§9. Координаты на плоскости
- •§10. Координаты в пространстве
- •§11. Линейные операции над векторами в координатной форме
- •§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •§13. Определители второго и третьего порядков
- •§14. Векторное произведение векторов в координатной форме
- •§15. Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •§16. Полярные координаты
- •§17. Цилиндрические координаты
- •§18. Сферические координаты
- •§19. Преобразование координат
- •§20. Прямоугольные координаты на плоскости
- •Iiпрямая на проскости
- •§1. Прямая на плоскости
- •§2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках
- •§3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой
- •§4. Взаимное расположение двух прямых.
- •§5. Пучок прямых
- •§6. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •§8. Угол между двумя прямыми
- •§9. Расстояние от точки до прямой
- •III плоскость
- •§1. Общее уравнение плоскости
- •§3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •§4.Нормальное уравнение плоскости
- •§5. Расстояние от точки до плоскости
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§7. Пучок и связка плоскостей
- •§8. Угол между двумя плоскостями
- •IV прямая в пространстве.
- •§1. Уравнение прямой в пространстве
- •§2, Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§3. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •§4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные пряные
- •§5. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •§6, Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§7. Угол между прямой и плоскостью
Глава 1. Векторы и координаты
§ 1. Понятие вектора
Термин "вектор" обычно употребляется в двух смыслах. С одной сторож, вектором называют направленный отрезок. С другой стороны, вектор понимают, как понимают в физике "векторные величины" - скорость, силу и т.д. Например, с точки зрения физики
направленными отрезками (Рис.1), не равны друг другу, так как оказывают различное действие На тело F. С точки зрения геометрии векторыине только равны, но и являются различными изображениями одного и того же алгебраи ческого вектора.
Направленным отрезкомназывается отрезок, у которого указана), какая точка является началом, а какая концом.
Векторомназывается направленный отрезок. ^ Векторы обычно обозначаются следующими способами:или
(Рис.2.а), или а или а (Рис.2,6).
Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым вектором иобозначаетсяили. Направление нулевого вектора
Рис.2
6
не определено.
Если заданы два ненулевых вектора и. лежащих на двух различных параллельных прямых, то через точки А и С всегда можно провести хотя бы одну плоскость α, не проходящую через точки В и D. Тогда плоскость а разбивает множество всех точек пространства, не принадлежащих этой плоскости, на два полупространства. Если при этом точки В и В лежат в одном и том же полупространстве, то говорят, что векторыиодинаково направлены. В противном случае, векторыиназываютсяпротивоположно направленными.
Если же векторы илежат на одной прямой, то они одинаково направлены (противоположно направлена), если существует такой третий вектор, который одинаково направлен (противоположно направлен) с каждым из векторови.
Абсолютной величинойилимодулем(длиной) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор.
Длина вектора обозначается символом||.
Два вектора называются равнымиесли они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину.
Равенство векторов обладает следующими свойствами:
1) для любого вектора ,= (рефлексивность);
2) для любых векторов , из равенства=всегда следует = (симметричность);
3) если =и =, то всегда=(транзитивность).
Отношение равенства векторов, удовлетворяющее этим трем свойствам, называется отношением эквивалентности на множестве всех векторов пространства.
Справедлива следующая
ТЕОРЕМА. Отношение эквивалентности на множестве всех векторов разбивает это множество на попарно непересекающиеся классы.
Тогда под абстрактным вектором (в дальнейшем просто вектором) в аналитической геометрии понимается абстрактный объект,
7
совладеющий с некоторым классом эквивалентности. Это означает, что вектор связан с равными направленными отрезками таким образом, что каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением данного вектора, а неравные направленные отрезки изображают разные векторы.
Векторы и называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается|| ).
Три и более векторов называются компланарными если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.