§11. Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть даны векторы ={x₁,y₁,z₁) и=(х₂,у₂,z₂) в афинной системе координат (0,,,). Тогда

=(x₁+y₁+z₁)+(x₂+y₂+z₂)=

=(x₁+x₂)+(y₁+y₂)+(z₁+z₂).

Следовательно,

=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) (1.20)

Аналогично,

=(х₁-х₂,у₁-у₂,z₁-z₂) (1.21)

Если \ - произвольное действительное число, то

λ=λ(x₁+y₁+z₁)=λx₁+λy₁+λz₁т.е.

λ=(λx₁,λy₁,λz₁) (1.22)

ВЫВОД: линейные операции над векторами в координатной форме

годятся к линейным операциям над числами.

Решим следующую задачу. Пусть даны точки А(х₁,у₁,z₁)и

30

В(х₂,у₂,z₂),и точка М(х,у,z) делит отрезок АВ в отношении λ, т.е.AM/MB=λ, (Рис. 25). Тогда=(х-х₁,у-у₁,z-z₁),=

(х₂-х,у₂-у,z₂-z). Так как||то=λ. Следовательно, х-х₁=λ(х₂-x), y-y₂=λ(у₂-у),

z-z₁=λ(z₂-z). Из первого равенства следует, что х-х_1--λx₂+λx=0

Рис.25

(1.23)

Аналогичным образом получаем:

(1.24)

Формулы (1.23) и (1.24) называются формулами деления отрезка в заданном отношении. В частности, если AM = MB, т.е. λ=1. то

(1.25)

формулы деления отрезка пополам.

§12. Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:

=(х₁,у₁,z₁),=(х₂,у₂,z₂). Найдем скалярное произведение

31

=²=1; =0;=0;

=0;²=0;=0;

=0;=0;²=1.

Тогда, испол1>зуя свойства скалярного произведения векторов (теорема 1.3), получаем.

=(x₁+y₁+z₁)(x₂+y₂+z₂)

x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. (1.26)

В частности

(1.27)

Если даны точки А(х₁,у₁,z₁) и В(х₂,у₂,z₂),то. как известно,=(x₂-х₁,y₂-у₁,z₂-z₁) и значит.

(1.28)

Так как , то

(1.29)

Наконец, из теоремы 1.3 следует, что тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

X₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0 (1.30)

32

§13. Определители второго и третьего порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

(1.31)

называется квадратной матрицей n-гопорядка или простоматрицей n-го порядка. Первый индексiэлемента а_ijматрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядканазывается число Δ равное:

(1.32)

Для матрицы А третьего порядка, где

ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:

Δ=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁+а₁₃а₂₁а₃₂-

-а₁₃а₂₂а₃₁-а₁₁а₂₃а₃₂-а₁₂а₂₁а₃₃. (1.33)

33

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (1.33) берутся со знаком "+", а какие со знаком "-", полезно использовать следующее правило треугольников (Рис. 26):

Рис. 26

Часто оказывается полезным тот факт, что вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. А именно.

=(1.34)

Равенство (1.34) называется разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.