§5. Пучок прямых

Пучком прямыхназывается совокупность всех прямых на плоскости, проходящих через некоторую точку, называемуюцентромпучка.

Покажем, что для задания уравнения пучка достаточно знать какие-либо две прямые, проходящие через центр пучка.

Пусть в аффинной системе координат прямые l₁иl₂заданы уравнениями

A₁x+B₁y+C₁=0, (l₁),

(2.20)

A₂x+B₂y+C₂=0. (l₂)

и пусть S₀(х₀,у₀) - точка их пересечения (центр пучка). Возьмем такие числа а и β, что α³+β²0 и рассмотрим уравнение

α(А₁х+B₁у+C₁)+β(А₂x+В₂y+С₂)=0 (2.21)

Покажем, что уравнение {2.21} задает прямую, проходящую через

точку S₀.

(2.21) следует, что

(αА₁+βA₂)x+(αB₁+βВ₂)у+αС₁+βC₂=0 (2.22)

Покажем, что коэффициенты при неизвестных в (2,22) одновременно не равны нулю. Предположим противное, тогда

αA₁+βА₂=0,αВ₁+βВ₂=0. (2.23)

Если, например, α0, то и А₂О, так как из А₂=0 следует А₁=0 что противоречит условию пересечения прямыхl₁иl₂. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что иB₂0. Теперь равенство (2.23) можно переписать в виде

55

-противоречие с тем, что прямые пересекаются. Итак, коэффициенты при неизвестных в уравнении (2.22) одновременно не равны аула), |т.е. это - уравнение прямой. Так как

(αА₁+βA₂)x₀+(αB₁+βВ₂)у₀+αС₁+βC₂=

α(А₁х₀+B₁у₀+C₁)+β(А₂x₀+В₂y₀+С₂)=0

то прямая (2.21) проходит через центр S₀.

Покажем теперь, что любую прямую, проходящую через центр S₀пучка, задаваемого прямымиl₁иl₂ , можно выразить уравнением вида (2.21). Ясно, что для этого достаточно показать, что, если такая прямая проходит через точку M₁(x₁,y₁), отличную от точкиS₀, то можно подобрать числа α и β так, что<5у уравнение этой прямой имело вид (2.21).

Haйдем эти числа из условия

α(А₁х₁+B₁у₁+C₁)+β(А₂x₁+В₂y₁+С₂)=0 (2.23)

Так как М₁S₀, то одно из чисел, заключенных в скобки в равенстве {2.23}, не равно нулю.

Пусть А₁x₁+В₁y₁+С₁0. тогда

Таким образом, придавая β совершенно произвольное значение, получим конкретное значение α. Именно при этих значениях α и β прямая будет проходить через центр пучка - точку S₀, и задаваться уравнением вида (2.21).

Уравнение (2.21) называется уравнением пучка прямых,определяемого уравнениями(2.20). В частности, при α=0 получаем уравнение прямойl₂, а при β=0 получаем уравнение прямойl₁

Разделим обе части уравнения (2.21) на α и обозначим β/α=λ получим уравнение

56

A₁x+B₁y+С+λ(A₂х+В₂y+C)=0 (2.24)

Уравнение пучка,как правило, задается в виде (2.24). Отметим, однако, что уравнение (2.24) задает все прямые пучка, за исключением прямойl₂.

Если известен только центр пучка - точка S₀(x₀, у₀), то для любой прямойlс угловым коэффициентом k имеем;

У-У₀=k(x-х₀).

Если же угловой коэффициент не существует, то х-х₀=0. Последние два уравнения можно объединить в одно:

α(х-х₀)+β(у-у₀)=О (2.25)

- уравнение пучка, проходящего через центрS₀(x_0,у₀).

В дальнейшем, если это не будет оговорено специально, под системой координат будем понимать прямоугольную систему координат.