§6. Смешанное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешаннымпроизведениемвекторов,,на- зывается число, равное (х)и обозначается.

Свойства смешанного произведения

1) число || равно объему параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах,,, приведенных к общему началу. В этом состоит геометрический смысл смешанного произведения.

Доказательство. Обозначим и отложим

19

от точки 0 единичный вектор

=такой, что,(Рис.19). Очевидно, что V=Sh, где S - площадь параллелограм

ма, h - высота параллелепипеда. С другой стороны, . Следовательно,=(х)=

Рис.19

2) (необходимоеидостаточноеусловиекомпланарноститрехвекторов). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы комп-

ланарны. Тогда либо х=, либо (х)┴. Значит, (х)=0.

Достаточность. Пусть =0 и предположим, что векторы,некомпланарны. Тогда из свойства 1) следует, что существует параллелепипед, построенный на этих векторах, с объемом равным 0. Противоречие. Тем самым свойство доказано.

3) (х)=(х)

Доказательство. Пусть векторы ,,некомпланарны. Так как(x)=(x), то из свойства 1) следует, что|(x)|=|(x)|, как объем параллелепипеда, построенного на векторах,,. Если тройка,,- правая, то правой будет и тройка,,. Если же тройка,,левая, то левой будет и тройка,,. В этом случае равенство 3) доказано.

Пусть векторы ,,компланарны. Тогда обе части равенства равны нулю.

4) Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке множителей, т.е.

20

==.

Доказательство. Если векторы ,,компланарны, то равенство очевидно. Если же векторы,,некомпланарны и образуют правую (левую) тройку векторов, то и векторы ,,и,,также образуют правую (левую) трoйку векторов. Теперь из свойства 1) следует требуемое равенство.

§7. Линейная зависимость векторов

Пусть дана система векторов

(1.7)

и α₁, α₂,...α_n- действительные числа. Тогда векторы вида

(1.8)

называются линeйнoй комбинaциeй вeктоpов cиcтeмы(1.7).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов (1.7) называется линейно зави-симой, если существует такая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору, т.е.

=(1.9)

и хотя бы одно из чисел .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система (1.7) называется линейно независимой, если равенство (1.9) возможно тогда и только тогда, когда все числа α_i=0.

Часто в дальнейшем слово "система" будем опускать и говорить о линейно зависимых или линейно независимых векторах.

ОПHTДЕЛЕНМЕ. Если какой-либо векторможно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1.7), т.е.

=, (1.10)

21

то говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1.7).

ТЕОРЕМА 1.5. Для того чтобы векторы системы (1.7) были линейно зависимы (n>1), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них линейно выражался через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (1.7) линейно зависима и пусть, например, . Тогда из равенства (1.9) следует, что

Следовательно,

т.е. линейно выражается через векторы.

Достаточность. Пусть, например,

Тогда

т.е. система (1.7) линейно зависима. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Если векторы системы (1.7) линейно независимы, то ни один из них нельзя линейно выразить через остальные. В частности, ни один из них не может быть нулевым.

ТЕОРЕМА 1.6. Для того чтобы два вектора были линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , - линей

но зависимы. Тогда, в силу теоремы 1.5. можно считать, например,

22

что . Следовательно, по теореме 1.1 эти векторы коллинеарны.

Достаточность. Пусть ||. По теореме 1.1=λ.

т.е. 1+(-λ)=. Это и означает линейную зависимость век-торов и .

СЛЕДСТВИЕ. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

ТЕОРЕМА 1.7. Любой вектор на плоскости можно разложить сто любым двум неколлинеарным векторамиэтой плоскости, т.е. представить в виде:

(1.11)

причем это разложение единственно.

Доказательство. Обозначим ,и

(Рис. 20) и построим параллелограмм ОМ₂МM₁Так как||, и||. тои. Следовательно,

Докажем единственность разложения (1.11). Предположим противное, т.е. пусть имеется еще одно разложение:

Рис.20

. (1.12)

Вычтем из равенства (1.11) равенство (1.12), получим:

Но векторы илинейно независимы, значит,

22

α₁-β₁=0, α₂-β₂=0, т.е. α₁=β₁, α₂=β₂.

Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 1.8. Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы ,илинейно зависимы. Тогда, в силу теоремы 1.5, можно считать, например, что=α₁+α₂. Если||, то векторыи

лежат на некоторой прямой, значит, и вектор лежит на этой же прямой, иначе эти векторы лежат в некоторой плоскости α

и, значит, вектор также лежит в плоскости α. Итак, векторы,икомпланарны.

Достаточность. Пусть векторы ,икомпланарны. Если какие-либо два из них, например,и, неколлинеарны. то по теореме 1.7=α₁+α₁. Значит, в силу теоремы 1.5, векторы,илинейно зависимы. Пусть теперь любые два вектора коллинеарпы. Тогда, например,=α. Следовательно,

=α+0.

В силу теоремы 1.5, это означает линейную зависимость векторов ,иТeoрeмa доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Три вектора линейно независимо тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

ТЕОРЕМА 1.9. Любой вектор можно разложить по трем некомпланарны векторам,и, т.е. представить в виде:

(1.13)

причем это разложение единственно.

Доказательство. Обозначим

24

=(Рис.21).Построим проекции М₁, М₂и М₃точки М на оси,исоответственно параллельно плоскостям ОЕ₂Е₃ и ОЕ₁Е₃, ОЕ₁Е₂. Тогда=+ +векторыиколлинеарны для любогоi= 1,2,3. ,.. Тем самим разложение (1.13) получено. Единственноcть разложения (1.13)

Рис.21

доказывается аналогично, как и в теореме 1.7. Теорема доказана.

TEOPEМA 1.10. Любые четыре вектора линейно зависимы, Доказательство. Предположим, что среди векторов

,,,(*)

есть тройка линейно независимых, например, ,,. Тогда векторы,,. Некомпланарны и по теореме 1.9=α₁+ +α₂+α₃. Следовательно, в силу теоремы 1.5 векторы (*) линейно зависимы. Таким образом, осталось предположить, что любая тройка векторов системы (*) линейно зависима, например,. По определению это означает, что

м хотя бы одно из чисел . Значит,

,

т.е. векторы системы (*) линейно зависимы. Теорема доказана

25

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что два лежащих в плоскости α линейно- независимых вектора и(любые три линейно независимых вектора,и) образуют на этой. плоскости (в пространстве)базис, если любой вектор, лежащий в этой плоскости α (любой вектор пространства), может быть представлен в виде линейной комбинации ректорови(,,).

Приведенные выше результаты позволяют сформулировать следующие фундаментальныеутверждения:

1) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарнах векторов образует базис па этой плоскости;

2) любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.