§5. Векторное произведение двух векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ,,называется правой, если при приведении их к общему началу поворот от векторак векторупо кратчайшему пути виден с конца векторапротив часовой стрелки (Рис.15,а). Если же такой поворот осуществляется по часовой строже, то вектора,,образуют левую тройку векторов (Рис.15,б).

в)

Рис.15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемыйхи удовлетворяющий сле-

16

дущим условиям:

1) ||=|||||sin(^,);

2) ┴,┴;

3)векторы,,образуют правую тройку векторов.

В дальнейшем окажется полезным следующий способ построения векторного произведения вектора на единичный вектор(т.е. ||=1).

Обозначим ,,φ= () (Рис.16). Проведем через точку О плоскостьи обозначимортогональную проекцию вектора на плоскость α. По

Рис.16 вернем вектор

в плоскости α на угол π/2 вокруг точки точки 0 по часовой стрелке, если смотреть из точки С. Получим вектор . Тогда

Кроме того, направления исовпадают. Следовательно,

=. (1.6).

Свойства векторного произведения

1) (Необходимоеидостаточноеусловиеколлинеарностидвух

векторов) векторыиколлинеарны тогда и только тогда, -

когда х=.

Доказательство. Достаточность. Пусть х=. Если=либо=, то||. Если |х|=, тоsin(^,)=0,

значит, ||=.

17

Необходимость. Пусть ||, тогда sin(^,)=0, то есть

x=.

2) (геометрическийсмыслвекторногопроизведения) число

|x|равно площади параллелограмма, построенного на неколли неарных векторах а и 8, приведенных к общему началу.

Действительно, пусть=,=(Рис.17) Тогда S_OACB=||||sin(^,)=|x|.

3)x=-x, (антикоммутативность).

Доказательство следует из определения.

4. (λ)x=λ(x),

Рис.17

Доказательство очевидно, в случае, когда либо λ=0, либо ||. Пусть λ0 ине коллинеарно . Обозначим φ=sin(^,). Тогда |λ(x)|=|λ|||||sinφ. Если λ>0, то|(λ)х|=|λ|||sin(λ^,)=|λ||||sinφ. Если λ<0. то

|(λ)х|=|λ|||sin(п-φ)=|λ|||||sinφ.

Итак, векторы, стоящие в обеих частях равенства 4), имеют одинаковые длины. Покажем, что эти векторы одинаково направлены. Заметим, что эти векторы коллинеарны, так как каждый из них ортогонален векторам и. Очевидно, что если λ>0, то векторы λ(х) и (λ)ходинаково направлены с векторомх. Если же λ<0, то эти векторы направлены противоположно векторух, т.е. имеют одинаковое направление.

5. х(λ)=λ(х).

Действительно, из 3) и 4) следует, что

х(λ)=-(λ)х=-λ(х)=λ(х)

6. (+)х=х+х (дистрибутивность).

Доказательство. Покажем вначале, что

(*)

18

где . Обозначими

проведем плоскость (Рис.18). Обозначим черезиортогональные проекции векторовина плоскость α Повернем теперьна угол π/2 в плоскости α вокруг точки О по часовой стрелке, если смотреть из точки С. Получим.

Тогда. Из равенства (1.6) следует, что=;;=,т.е. равенство (*) доказано. Умножая теперь обе части равенства (*) на число||и применяя свойство 5), получаем требуемое равенство.

7. х(-)=х+х(дистрибутивность).

Рис.18

Действительно.

х(+)=-(-)х=-((х)+(х))=

=х+х.