§ 3. Проекции

Назовем осьюпрямую, на которой указано направление, которое будем называть положительным.

Пусть l- некоторая ось,α - плоскость, непараллельная осиl. Через произвольную точку А пространства проведем плоскость α'||α(Рис.9) и обозначим точку пересечения плоскости α'cосьюlчерез А₁. Тогда точка А₁называетсяпроекцией точкиАна осьlотносительноплоскостиα. В частности, если α┴l, то проекция называетсяпрямоугольнойилиортогональной.

Рис.9 Рис.10

Пусть теперь задан вектор . Возьмем проекции А₁и В₁точек А и В на осьlотносительно плоскости α (Рис.10).

12

Тогда вектор АД называется проекциейвектораАВнаось lотносительноплоскостиα. Величиной проекции векторанаосьотносительноплоскостиα называется число, равное:

а) ||, если направление вектора совпадает с направлением осиl;

б) -||. если направление противоположно направлено осиl.

Обычно из контекста ясно о проекции относительно какой плоскости идет речь. Поэтому величину проекции вектора на осьlбудем обозначать Пр_l, а для ортогональной проекции использовать обозначение пр_l.

Пусть α - некоторая плоскость иl- прямая, такая, чтоl не параллельна α. Через произвольную точку А пространства проведем прямуюl₁||lи обозначим точку пересечения прямойl₁с плоскостью α через А₁(Рис.11). Точка А₁называетсяпроекциейточкиАнаплоскостьαотносительнопрямойl.

Рис.11

Если прямая l┴α, то проекция называетсяпрямоугольнойили ортогональной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя векторами, или между осями, или между вектором и осью называется наименьший угол α, на который надо повернуть один из векторов или одну из осей до совпадения по направлению с другим вектором или осью.

Из определения следует, что 0απ. Угол между векторами или между осями, или между вектором и осью будем обозначать оответственно: (), (), ().

ТЕОРЕМА 1.2. Проекция вектора на ось обладает следуицики свойствами:

1) ;

2. 

13

3) .

Доказательство. 1) обозначим φ=() и=(Рис.12). Тогда если φπ/2-то по определению пр_l=||=||соsφЕсли же π/2<φπ,то пр_l=||=соs{π-φ)=-||cosφ

2) пусть λ>0. Обозначим =,=λ(Рис.13). Тогда

и - проекции соответственно векторовина осьl. Из подобия треугольников ОАА₁и 0BB₁следует, что=λ,

Значит ,Пр₁λ=λПр_l. Аналогичным образом рассматривается случай когда λ<0.

3)обозначим, и(Рис.14). Тогда,и- проекции соответственно векторов, и+на осьl. Отсюда сразу следует, что Пр_l(+)=

Пр_l+Пр_l.

Рис.14

14

§ 4. Скалярное произведение векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярнымпроизведениемвекторовиназывается число (которое обозначается), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

. (1.2)

Из 1) теорема 1.2 сразу следует, что

. (1.3)

Так как соs0=1. то=||². Следовательно,

, (1.4)

где выражение =²зазывается скалярным квадратом вектора.

ТЕОРЕМА. 1.3. Скалярное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) =(коммутативность);

2) λ()=(λ),λR;

3)(+)=+(дистрибутивность).

Доказательство.1)=||||соз(^)=||||соs(^)=

2) пусть λ>0. Тогда

λ()=λ||||cos(^,)=-|λ|||cos(λ^,)=(λ).

Если λ<0, то cos(^,)=-cos(λ^,). Поэтому

λ=λ||||соs(^,)=-|λ|||соs(^,)=

=|λ|||cos(λ^,)=(λ).

3. из теоремы 1.2 следует, что

15

Теорема доказана.

Из равенства (1.2) легко подучить формулу для нахождения угла между двумя векторами:

(1.5)

TЕOPЕMA 1.4. Два ненулевых вектора взаимно перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы иортогональны (обозначается┴). Тогда (^,)=π/2 и так как cos(^,)=cosπ/2=0, то=0.

Достаточность. Пусть =0. Так как вектораипо условию ненулевые и=||||cos(^,)=0, то соа(^,)=0. Т.е.┴. Теорема доказана.