§ 2. Линейные операции над векторами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой+векторови называется век-

тор, проведенный из начала к концу , если конеци начало совпадают (Рис.3). Приведенное определение сложения векторов называетсяправилом треугольника. Векторыи можно складывать. пользуясьправилом параллелограмма(Рис.4).

Если имеется nвекторов, то их сумма определяется как вектор(Рис.5).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностьювекторови называется такой вектор =-, что выполняется равенство: +=(Рис.6).

8

Рис.5 Рис.6

Легко показать, что для любого вектора , существует такой

единственный вектор , называемыйпротивоположнымвектору

что +=. Вектор, противоположный вектору, будем обозначать -.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора на число λ(λ0) называется вектор =λ, удовлетворяющий следующим условиям:

1) векторы и одинаково направлены, если λ>0, и про- тивоположно направлены, если λ<0;

2) ||=|λ|||.

По определению, произведение произвольного вектора на число 0 есть нулевой вектор, т.е. 0=.

Введенные операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1. сложение векторов коммутативно:

+=+, ,,;

2) сложение векторов ассоциативно:

(+)+=+(+) ,,,;

3) +=,;

4) +(-)=0,;

5) умножение вектора на число ассоциативно:

α(β)=(αβ),α, β R;

6) 1=,;

7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к

9

сложению чисел:

(α+β)=α+β, , α, β R;

8) умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов:

α(+)=α+α, ,, α R;

Докажем, например, свойства 1),7),8).

Свойство 1) следует из правила сложения векторов.

Свойство 7) очевидно для случая, когда либо =, либо

α+β=0, либо одно из чисел α или β равно 0. Рассмотрим следующие два возможных случая.

а) числа α и β имеют одинаковые знаки. Тогда векторы (α+β)и α+βодинаково направлены. Осталось показать, что модули этих векторов равны. Действительно,

|α+β|=|α|+|β|=|α|||+|β|||=(|α|+|β|)||=

|α+β|||=|(α+β)|

б) числа α и β имеют противоположные знаки и пусть, например.|α|>|β|. Тогда легко проверить, что числа α+β и -β имеют одинаковые знаки. В силу случая а) получаем:

(α+β)+(-β)=(α+β-β)=α, т.е. (α+β)=α+β

Свойство доказано.

Свойство 8) очевидвно, если либо α=0, либо +=0, либо один из векторовили - нулевой. Рассмотрим следующие два случая.

а)α>0 и векторы и -неколлинеарны. Построим(Рис.7)==, тогда=+. Далее строим=αи=α. Так как треугольники ОАВ и ОА₁В₁подобны, то А₁В₁=|α|АВ. Но вектораиодинаково направлены,следовательно,=α=α. Итак,, т.е. α+α=α(+).

10

Рис.7 Рис.8

б) Пусть теперь α>0 и ||. Построим (Рис.8)=,

=. Возьмем произвольную точку S, не лежащую на прямой 0В и на луче SO, возьмем такую точку 0₁, что SO₁=αSO. Проводим

О₁В₁||0В и строим лучи SA₁и SB₁. Так как три пары треугольников SOA и SO₁A₁, SAB иSА₁B₁, SOB иS0₁B₁подобны, то

O₁A₁=|α|ОА,А₁B₁=|α|АВ, О₁B₁=|α|ОВ.

Обозначим векторы . Тогда ,

и так как , то

α+α=α(+).

В случае, когда α<0, доказательство пунктов а) и б) про-водится аналогично.

Множество всех векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1-8. называется линейнымиливекторнымпространствоми обозначаетсяR³(R²).

ТЕОРЕМА 1.1. (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов). Для того чтобы векторы и были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ удовлетворяющее условию:

=λ. (1.1)

11

Доказательство. Необходимость. Пусть и коллинеарны,

0. Если одинаково направлены, то и,приняв , получим равенство (1.1). Еслии противоположно направлены, тои.

Достаточность. Если =λи, то коллинеарность векторов следует непосредственно из определения операции умножения вектора на число.