§6, Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая lи плоскость α заданы соответственно уравнениями

, α: Ax+By+Cz+D=0.

Тогда возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и носкости.

1) прямая lлежит в плоскости α, следовательно,направ-

82

ляющий вектор =(m,n,p) прямойl

ортогонален нормальному вектору = (A,В,С) плоскости α, и точка М₀(х₀,у₀,z₀) принадлежит α (Рис. 64). Эти два условия запишем следующим образом:

Am+Bn+Ср=О, (4.16)

Аx₀+Ву₀+Cz₀+D=0. (4.17)

Обратно, если выполняются равенства (4.16) и (4.17), то прямая lпринадлежит плоскости α.

2) если прямая lпараллельна плоскости α (Рис. 65), то вы- полняется только условие (4.16). Обратно, если имеет место (4.16), то прямаяlпараллельна плоскости α,

3) прямая lпересекает плоскость α (Рис. 66). Очевидно,

что это имеет место тогда и только тогда, когда

Am+Вn+Ср0. (4.18)

83

§7. Угол между прямой и плоскостью

углом между прямой lк плоскостью α называется угол φ, образованный прямойlи ее проекциейl₁на плоскость α(Риc.67)

Очевидно, что . Веж прямаяlи плоскость α .заданы

соответственно уравнениями

, α: Ax+By+Cz+D=0, то

Итак,

(4.19)

84

CОДЕРЖАНИЕ

Введение...................................................3

Глава I. Векторы и координаты..............................5

§ 1. Понятие вектора........................…........... 5

§ 2. Линейные операции над векторами.................. 7

§ 3. Проекции......................................... 11

§ 4. Скалярное произведение векторов....................14

§ 5. Векторное произведение векторов................... 15

§ 6. Смешанное произведение векторов....................18

§ 7, Линейная зависимость векторов..................... 20

§ 8. Координата на прямой............................ 25

§ 9. Координаты на плоскости............................26

§10. Координата в пространстве..........................28

§11. Линейные операций над векторам в координатной

форме............................................... 29

§12. Скалярное произведение векторов в координатной

форме............................................. 30

§13. Определители второго и третьего порядков...........32

§14. Векторное произведение векторов в координатной

форме............................................... 33

§15. Смешанное произведение векторов в координатной

форме............................................... 35

§16. Полярные координаты............................... 35

§17. Цилиндрические координаты......................... 36

§18. Сферические координаты.............................37

§19. Преобразование координат.................... 38

§20. Прямоугольные координаты на плоскости..............41

Глава П. Прямая на плоскости..............................43

§ 1. Прямая на плоскости............................ 46

§ 2. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках48

§ 3. Параметрическое и каноническое уравнения прямой.

85

Уравнение прямой, проходящей через две заданные

точки............................................ 50

§ 4. Взаимное расположение двух прямых................... 51

§ 5, Пучок прямых........................................ 54

§ 6. Нормальное уравнение прямой......................... 56

§ 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямых 57 § 8. Угол между двумя прямыми............................ 60

§ 9. Расстояние от точки до прямой.................. 61

Глава III. Плоскость..................................... 63

§ 1. Общее уравнение плоскости........................... 63

§ 2. Геометрический смысл знака выражения

Аx₁+Ву₁+Cz₁+D................................. 66

§ 3. Уравнение плоскости, проходящей через три

заданное точки. .................................... 67

§ 4. Нормальное уравнение плоскости................. 68

§ 5. Расстояние от точки до плоскости.................... 69

§ 6. Взаимное расположение двух плоскостей,.......... 69

§ 7. Пучок и связка плоскостей........................... 70

§ 8. Угол между двумя плоскостями........................ 72

Глава IV. Прямая в пространстве. Взаимное расположение

прямой и плоскости в пространстве..................... 73

§ 1. Уравнение прямой в пространстве..................... 73

§ 2. Взаимное расположение двух прямшс в пространстве.... 76

§ 3. Расстояние от точки до прямой в пространстве........ 78

§ 4. Уравнение плоскости, проходящей через две заданные

прямые............................................. 79

§ 5. Расстояние между скрещивающимися прямыми............ 80

§ 6. Взаимное расположение прямой и плоскости............ 81

§ 7. Угол между прямой и плоскостью.................... 83

Содержание........ .......... 84