ovta-zbirnyk-zadach

10.9. Перетворити поверхневі інтеграли на об'ємні:

де a – сталий вектор, n – орт нормалі до поверхні S(V), що обмежує об'єм V.

10.10. Перетворити поверхневі інтеграли на об'ємні:

10.14. За допомогою теореми Остроградського–Гаусса довес-

У задачах 10.18–10.21 обчислити інтеграл за орієнтаціями вектора r , ∫…dΩ означає інтеграл за повним тілесним кутом (у сферичних

10.22. Ураховуючи симетрію підінтегрального виразу та його тензорну структуру, знайти значення інтегралів (k – сталий век-

Використовуючи результат задачі 10.22, обчислити інтеграли:

10.25. Згідно із законом Біо–Саварі електричний струм І, що тече елементом провідника dl, створює у точці простору r ма-

10.26. Згідно із законом Фур'є в однорідному ізотропному середовищі, де існує поле температур T (r ,t), за час dt через

елемент поверхні dS проходить кількість теплоти dQ = −kn TdSdt , де k – коефіцієнт внутрішньої теплопровід-

ності, n – одиничний вектор нормалі до поверхні S. Записати кількість теплоти, накопиченої у довільному об'ємі V середовища за час dt. Вважаючи теплоємність середовища сталою, отримати диференціальне рівняння, яке задовольняє поле температур тіла (рівняння теплопровідності).

10.27. Рухома нестислива рідина заповнює об'єм V. Вважаючи, що в об'ємі V відсутні джерела та витоки, вивести рівняння

неперервності ∂ρ∂t + div(ρv) = 0, ρ(r ) – густина рідини, v – век-

тор швидкості, t – час.

83

Розділ 11 Обчислення криволінійних

і поверхневих інтегралів

11.1. Криволінійні інтеграли

від неперервної на кривій L числової функції f (r ) є інтеграл вигляду I = ∫ f (r ) dl, визначений

L

відповідною інтегральною сумою, dl – скалярний елемент довжини на кривій L .

Криволінійним інтегралом II роду від неперервної на кривій L

векторної функції A(r ) є визначений відповідною інтегральною сумою інтеграл вигляду I = ∫ A(r ) τ(r ) dl. Для інтеграла II роду

інтеграл I роду не залежить від напрямку інтегрування вздовж контуру L, а інтеграл II роду – залежить.

Для зведення інтеграла I роду до звичайного інтеграла Рімана необхідно визначити вираз для елемента довжини dl в околі точки r на кривій. Це можна зробити у різні способи, залежно від способу задання кривої, зокрема через декартові координати вираз є наслідком теореми Піфагора

Уздовж кривої L диференціали dx, dy і dz не є незалежними в силу рівняння кривої. Крива у просторі може бути задана у кілька способів, аналітично або геометрично:

♦ явне задання: крива описується рівняннями у декартових координатах, диференціали dx, dy і dz виражаються через одну незалежну змінну (х, у або z). Форма диференціалу dl визначається прямою підстановкою до (11.1). Для кривої у пло-

84

щині хOу, заданої рівнянням у = у(х), х – незалежна змінна та dl2 = dx2 (1 + y′x2 (x));

f2 (r ) = 0 (перетин двох поверхонь). У такому випадку доцільно перейти до параметричного задання;

♦ геометричне задання: якщо L є координатною лінією деякої ортогональної криволінійної системи координат, зручно для параметризації кривої скористатися відповідними криволінійними координатами, локальним базисом і виразами для елемента довжини на відповідних координатних лініях (див. розд. 9.1). При цьому слід зважати на те, що криволінійний інтеграл II роду є сталим вектором, його не можна виразити безпосередньо через вектори локального базису, якщо вони є змінними.

Для кривої в площині хOу часто бувають зручними полярні координати (r, ϕ), які вводять за допомогою співвідношень x = rcosϕ,

1) подати інтеграл у формі ∫ f (r ) dl ;

L

2) вибрати параметр t для опису кривої і визначити межі інтегрування t1, t2;

L t1

Якщо вектор τ як функцію точки на кривій знайдено, то криволінійний інтеграл II роду обчислюють за аналогічною процедурою, проте напрям τ і межі інтегрування вибирають із врахуванням додатного напрямку обходу L. У випадку замкненої кривої L для пошуку інтеграла можна використати теорему Стокса.

85

11.2. Поверхневі інтеграли

Поверхневим інтегралом I роду від неперервної на поверхні S

числової функції f (r ) є інтеграл вигляду I = ∫ f (r )dS, визна-

S

чений відповідною інтегральною сумою, dS – скалярний елемент площі на поверхні S .

Поверхневим інтегралом II роду від неперервної на двосторон-

ній поверхні S векторної функції A(r ) є визначений відповідною інтегральною сумою інтеграл вигляду I = ∫ A(r ) n(r )dS.

S

Для інтеграла II роду має бути задано, яка із двох сторін поверхні S вважається зовнішньою, тоді n(r ) – одиничний вектор

зовнішньої нормалі до S у точці r. Очевидно, інтеграл II роду можна обчислити як інтеграл I роду для функції

f (r ) = A(r ) n(r ) із врахуванням знаку нормалі.

Для обчислення інтеграла I чи II роду його необхідно перетворити до повторного інтеграла Рімана. Перш за все, потрібно визначити елемент площі dS і вектор нормалі n(r ) у точці r. Нехай по-

z = z(u,v) ), де u таv – внутрішнікоординатиточкина поверхні. Для визначення елементу площі в околі точки r (u,v) розгля-

немо диференціали радіус-вектора вздовж ліній: v = const: dr v = r (u + du,v) − r (u,v) = ∂∂ur du,

u = const: dr u = r (u,v + dv) − r (u,v) = ∂∂rv dv.

За геометричним змістом добуток dr v ×dr u є вектором, що перпендикулярний до поверхні у точці r (u,v), довжина якого

дорівнює площі dS. Вважатимемо, що він напрямлений уздовж зовнішньої нормалі n, а не навпаки. Тоді

dS = ndS = du dv ∂∂ur × ∂∂rv

де

вектор нормалі n має одиничну довжину.

Зміна порядку змінних u та v, зокрема у знаменниках (11.2), спричиняє зміну знаку N на протилежний (перехід до іншої

сторони поверхні), отже за рахунок цього знаки N і n завжди можуть бути узгоджені між собою.

Спосіб вибору внутрішніх координат (u, v) на поверхні визначають у кожній задачі окремо. Коли це можливо, слід використовувати відомі криволінійні системи координат, їх координатні поверхні, локальний базис і вирази для елемента площі на відповідних координатних поверхнях (див. розд. 9.1). При цьому сам поверхневий інтеграл є скаляром і не залежить від вибору базису. Зазвичай сферу (або її частину) зручно описувати кутами θ і ϕ сферичної системи координат, конус – координатами r і ϕ (сферичної чи циліндричної системи). У деяких випадках (напр., коли поверхня задана простою явною залежністю z = z(x, y) ) як u та v зручно вибрати декартові координати х та у,

де знак плюс або мінус визначається величиною кута, що утворює вектор зовнішньої нормалі до поверхні з додатнім напрямком осі Oz (плюс, якщо кут гострий, мінус – якщо тупий).

Загалом, якщо поверхню задано рівнянням f (r ) = 0, то на поверхні n = ± f f .

87

Зауваження. Поверхневий інтеграл II роду часто записують у вигляді суми

У такій формі запису елемент площі dS має вигляд розкладання за базисом

dS = ndS = ex (nxdS) + ey (ny dS) + ez (nz dS) = exdSx + ey dSy + ez dSz ,

де dSx = dydz – проекція вектора dS на координатну площину

уOz тощо. Формула (11.3) може бути незручною прямою прив'язкою саме до декартових координат. Легко бачити, що для інтеграла, записаного у формі (11.3), компоненти векторного поля

Aвідновлюються як коефіцієнти при відповідних диференціалах. Алгоритм обчислення поверхневого інтеграла:

1) подати інтеграл у формі ∫ A n dS (виділити поле A );

S

2)вибрати зручні координати для опису поверхні (ураховуючи її симетрію) та зручний базис для векторів A та n . Знайти рівняння поверхні у нових координатах, визначити межі інтегрування;

3)обчислити A(r (u,v)) N (r (u,v)) на поверхні;

4) інтеграл ∫ A(r (u,v)) N (r (u,v)) du dv звести до повторного

S

та обчислити його.

Зауважимо, що у випадку замкненої поверхні S для пошуку інтеграла можна використати теорему Остроградського–Гаусса. Це буде коректно, якщо підінтегральна функція в утвореному об'ємному інтегралі є неперервною в об'ємі V(S), що обмежується поверхнею S.

Типові приклади обчислення подано у вказівках до за-

дач (11.1) та (11.15).

де С – коло x2 + y2 = a2 (напрямок обходу – проти годинникової стрілки).

88

11.2. Обчислити криволінійний інтеграл

∫ ( y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz ,

C

де C – коло x2 + y2 + z2 = a2, y = x tgα (0 < α < π) (напрямок обходу – проти годинникової стрілки).

11.3. Знайти потік векторного поля A = r через: а) бічну поверхню конуса x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ h; б) основу конуса x2 + y2 ≤ z2,

0 ≤ z ≤ h; в) прямий круговий циліндр із висотою h, радіусом R і віссю симетрії Oz; г) поверхню, задану рівнянням z =1− x2 +y2 ,

частину сфери x2 + y2 + z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 у напрямку зовнішньої нормалі.

11.6. Знайти потік векторного поля A = yi + zj + xk через пов-

ну поверхню піраміди, обмежену координатними площинами x = 0, y = 0, z = 0 та x + y + z = a, де a ≥ 0.

11.7. Знайти потік векторного поля A = y2 j + zk через частину параболоїда z = x2 + y2, обмежену площиною z = 2, у напрям-

11.9.Знайти потік векторного поля A = ix3 + jy3 + kz3 через сферу x2 + y2 + z2 = x.

11.10.Знайти потоки заданих векторних полів через замкнені поверхні S у напрямку зовнішньої нормалі, використовуючи теорему Остроградського–Гаусса:

11.11. Обчислити поверхневий інтеграл

∫∫ ( x dydz + y dzdx + z dxdy),

S

де S – зовнішня сторона сфери x2 + y2 + z2 = a2. 11.12. Обчислити поверхневий інтеграл

∫ x2dy dz + y2dx dz + z2dx dy,

S

де S – зовнішня сторона сфери, заданої рівнянням

(x − a)2 + ( y −b)2 + (z −c)2 = R2 .

11.13. Обчислити поверхневий інтеграл

∫∫(( y − z) dy dz + (z − x) dz dx + (x − y) dx dy),

S

де S – зовнішня сторона конічної поверхні x2 + y2 = z2 (0 ≤ z ≤ h).

через поверхню напівсфери, заданурівняннями r = R та0≤ θ ≤ π/2.

11.15.Знайти потік векторного поля A = er/r3 через верхню половину сфери x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0, e = const.

11.16.Знайти потік векторного поля A = er/r3 через замкнену поверхню S. Розглянути випадки, коли початок координат лежить a) усередині S; б) зовні S.

11.17.Знайти потік векторного поля A = r ϕ(r) через поверх-

ню сфери радіуса R із центром у початку координат.

n

11.18. Задано векторне поле A = ∑ ei , де eі = const, Ri – від-

i=1 Ri

стані від точок ri (де розміщені джерела) до змінної точки r.

Знайти потік векторного поля A через замкнену поверхню S, що оточує всі точки ri .

90