ovta-zbirnyk-zadach

Тензор А називається антисиметричним за виділеною парою індексів, якщо його компоненти змінюють знак при перестановці індексів пари. Наприклад, антисиметричний за першою парою індексів тензор А третього рангу задовольняє умову

Aijk = −Ajik .

Тензор називається повністю симетричним (антисиметричним),

якщо він є симетричним (антисиметричним) за довільною парою індексів. Усі властивості симетрії є інваріантними, тобто не залежать від вибору системи координат.

Довільний тензор Т можна подати у вигляді суми симетричного S та антисиметричного А тензорів відносно перестановки

заданої пари індексів. Зокрема, для тензора другого рангу

T = S + A, де Sij = 12 (Tij +Tji ), Aij = 12 (Tij −Tji ).

Побудова із даного об'єкта нових, симетричних та антисиметричних, називається, відповідно, симетруванням та альтернуванням заданого об'єкта. Повністю симетрична частина для тензора третього рангу T дається виразом

Sijk = 13!(Tijk +Tjki +Tkij +Tjik +Tikj +Tkji )

(у дужках підсумовування 3! доданків, утворених усіма можливи-

ми перестановками індексів). Повністю антисиметрична частина

Aijk = 13!(Tijk +Tjki +Tkij −Tjik −Tikj −Tkji )

(у дужках 3! доданків, утворених усіма можливими перестановками індексів ijk, кожен з яких береться із додатним знаком, якщо кількість перестановок індексів в ньому (відносно набору ijk) парна, і з від'ємним, – якщо кількість перестановок – непарна).

Набір тензорів ei ej (ei – орти ПДСК) утворює лінійно не-

залежний базис у просторі тензорів другого рангу. Довільний тензор t другого рангу можна розкласти за цим базисом

нійний інваріантний оператор, що діє у просторі векторів і ставиться у відповідність тензору другого рангу.

32

Діагональну компоненту тензора t другого рангу відносно осі, заданої одиничним вектором n, можна знайти, обчислюючи

det t ≠ 0, можна побудувати обернений тензор t–1, який визначається компонентами оберненої матриці

4.2. Тензор t = {tijk } симетричний за парою індексів і та j, ан-

тисиметричний – за парою індексів j та k. Довести, що він тотожно дорівнює нулю.

4.3. Задано симетричний невироджений тензор t = {tij} . Довести, що тензор a = {aij }, компоненти якого задовольняють умо-

ви tik a jk = δij , є симетричним.

4.4. Довести твердження: якщо компоненти тензора t = {tij} задовольняють співвідношення αtij +βt ji = 0, де α та β – деякі числа, то або tij = t ji та α = −β , або tij = −t ji та α = β.

4.5. Довести твердження: якщо тензор t = {tijk } – симетрич-

ний за парою індексів і та j й для довільного вектора a виконується співвідношення tijk aia j ak = 0, то має місце тотожність

tijk +t jki +tkij = 0 .

4.6. Довести твердження: якщо для тензора t = {tij} і довільного вектора a виконується рівність tij a j = γai , де γ не залежить від вектора a, то t = γE, де Е – одиничний тензор.

4.7. Обчислити тензорні добутки a b, b a векторів a = (1, 2,3) та b = (4,5,6) .

33

4.8. Довести, що вектори, які утворюють симетричну діаду, є

зор t розкласти на симетричну S та антисиметричну A частини.

Для тензора t знайти симетричну S та антисиметричну A части-

ни. Обчислити: а) tik ak , tik ai , tik aiak ; б) Aik tik , Aik Sik , Aik aiak ; в) tikδik , Aikδik , Sikδik; г) tik − 13δiktll , (tik − 13δiktll )ai, (tik − 13δiktll )aiak;

д) показати, що Sik Aik = 0.

4.14. Обчислити згортку тензора t із двома векторами: a – за лівим індексом, b – заправим, якщо

числити згортку εij n j , де n j – компоненти одиничного вектора n. Знайти компоненти εij тензора, якщо n Oz .

4.16. Знайти образ поверхні r r = 1 після перетворення координат, заданого рівнянням r ' = t r , якщо тензор t – невироджений.

метрії) обертається із кутовою швидкістю ω= (0,−ωsinα,ωcosα) ,

заданою у головній системі координат тензора інерції. Записати у головній системі координат та у системі координат, отриманій із неї поворотом на кут α навколо осі Ох: а) момент імпульсу

L = I ω; б) кінетичну енергію обертання T = 12 ωI ω; в) момент

відцентрових сил N = ω×L .

4.19. Задано головні моменти інерції тіла І1, І2, І3. Знайти момент інерції тіла відносно осі, що утворює з відповідними головними осями кути α, β, γ.

4.20.Знайти момент інерції однорідного паралелепіпеда із вимірами a × b × c відносно його великої діагоналі.

4.21.Тензор інерції прямого циліндра із круговим перерізом відносно осей, що проходять через його центр мас, має вигляд

Знайти моменти інерції циліндра відносно бісектрис координат-

них кутів.

4.22. Плоскопаралельну пластинку вирізано із анізотропного монокристала, кристалічні осі якого взаємно перпендикулярні та є головними осями тензора провідності. Кристалічні осі утворюють із нормаллю до поверхні кути α, β, γ. Провідність плас-

35

тинки в напрямку кристалічних осей відповідно дорівнює σ1, σ2, σ3. Обчислити: а) провідність пластинки у напрямку, перпендикулярному до її поверхні; б) абсолютну величину вектора густи-

ни струму j та кут, який утворює вектор густини струму j = σE

із напрямком електричного поля E, якщо воно прикладене перпендикулярно до поверхні пластинки; в) паралельну j і перпен-

дикулярну j до напрямку електричного поля E складові век-

тора густини струму j , якщо воно прикладене перпендикуляр-

но до поверхні.

4.23. Показати, що кінетична енергія твердого тіла, яке має нерухому точку та обертається із кутовою швидкістю ω,

T = 12 Iωωω2 , де Iωω – момент інерції тіла відносно миттєвої

осі обертання (що збігається із вектором кутової швидкості ω). 4.24. Для симетричного (антисиметричного) тензора t друго-

го рангу довести співвідношення a t b = ±bta, де a і b – довільні вектори, мінус відповідає антисиметричному тензору, а плюс

–симетричному.

4.25.Довести твердження: для того, щоб тензор t був антисиметричний, необхідно та достатньо, щоб для довільного вектора

a виконувалась рівність a ta = 0.

4.26. Задано тензор t. Знайти тензор Т, що задовольняє рівність a t = T a для довільного вектора a.

4.27. Відомо, що a ×(b × x) = tx . За якої умови тензор t буде

симетричний?

4.28. Відомо, що тензори другого рангу А, В – симетричні, а Т

– антисиметричний. Довести, що тензор другого рангу C = ATB − BTA симетричний.

4.29. Дано вектор a = n ×(b ×n). Установити зв'язок між векторами a і b у вигляді тензорної рівності (a = tb).

4.30*. Для тензора t = a b −b a знайти пару дійсних векторів u, v і число μ такі, що tu = −μv , tv = μu.

4.32. Відомо, що для деякого тензора t вектори A = ta, B = tb, C = tc компланарні, де a, b, c – три фіксовані некомпланарні вектори. Довести, що всі вектори tu, де u – довільний вектор, компланарні та існує такий відмінний від нуля вектор v, що tv = 0 . І навпаки, з існування такого вектора v випливає компланарність усіх векторів tu.

4.33. Відомо, що для деякого тензора t вектори A = ta, B = tb, C = tc колінеарні, де a, b, c – три фіксовані некомпланарні вектори. Довести, що всі вектори tu (де u – довільний вектор)

– колінеарні та існує два таких неколінеарних вектори v і w , що tv = 0 та tw = 0 . І навпаки, із наявності двох таких векторів

vі w випливає колінеарність усіх векторів tu.

4.34.Довести твердження: якщо для трьох некомпланарних век-

торів a, b і c мають місце рівності ta = 0, tb = 0 , tc = 0, то для довільного вектора u справедлива рівність tu = 0, тобто t = 0.

4.35.Відомо, що ta = A, tb = B, tc = C, де вектори a, b, c – некомпланарні. Знайти тензор t.

4.36.Довести, що для трьох некомпланарних векторів a, b, c

де вектори u і v довільні, а тензор t = a e1 +b e2 + c e3.

4.39. Довести, що одиничний тензор Кронекера E = {δij} є

ізотропним.

4.40. Побудувати тензор λ четвертого рангу найбільш загального вигляду з одиничних тензорів другого рангу та обчислити згортку λijklukl для: а) довільного тензора u другого рангу;

б) симетричного тензора u; в) антисиметричного тензора u; г) тензора u = E.

4.41. Записати вигляд тензора λ четвертого рангу, побудованого з ізотропних тензорів другого рангу (див. задачу 4.40) для

37

частинних випадків: а) симетричного тензора відносно перестановки пар індексів λijkl = λklij та індексів у парі λijkl = λ jikl (симетрія тензора пружних сталих); б) те саме, але для тензора із нульовим слідом λijkk = 0; в) повністю симетричного тензора;

г) антисиметричного тензора відносно перестановки першої і другої пар індексів λijkl = −λklij ; д) антисиметричного тензора

відносно перестановки індексів у парі λijkl = −λ jikl .

4.42*. Довести твердження: а) єдиний вектор, компоненти якого однакові в усіх системах координат – нульовий; б) тензор другого рангу, компоненти якого однакові в усіх системах координат – пропорційний δij ; в) псевдотензор третього рангу, ком-

поненти якого однакові в усіх системах координат – пропорційний εijk ; д) повністю симетричний тензор четвертого рангу,

компоненти якого однакові в усіх системах координат – пропо-

рційний δik δlm +δimδkl +δilδkm.

4.43*. Показати, що тензор sisj (тензор проектування на напрямок вектора s, якщо s – одиничний вектор) є одновісним, тобто його компоненти не змінюються за довільного повороту системи координат навколо паралельної вектору s осі.

4.44.Побудувати з одиничного тензора другого рангу та заданого одиничного вектора s симетричний тензор другого рангу: а) найбільш загального вигляду; б) із нульовим слідом. Показати, що такі тензори є одновісними.

4.45.Показати, що довільний симетричний тензор другого рангу, що є одновісним (тобто його компоненти не змінюються за довільного повороту системи координат навколо паралельної век-

тору s осі), має загальний вигляд, отриманий в задачі 4.44 а, і може бути записаний як εij =ε1δij +(ε3 −ε1)sisj , де ε1 та ε3 – головні значення тензора, причому головна вісь 3 паралельна вектору s. Це означає, що тензори δij та si s j утворюють базис у лінійному

просторі симетричних одновісних тензорів другого рангу.

4.46. Побудувати з одиничного тензора другого рангу та тензора проектування на напрямок заданого одиничного вектора s (див. задачі 4.39 та 4.43) усі можливі тензори четвертого рангу шляхом: а) утворення прямих добутків; б) перестановки індексів в утворених добутках. Показати, що утворені тензори є одновіс-

38

ними (їх компоненти не змінюються за довільного повороту системи координат навколо паралельної вектору s осі).

Зауваження. Можна показати, що отримані тензори утворюють базис у відповідному лінійному просторі одновісних тензорів четвертого рангу, приклади для частинних випадків – див. задачі

4.47, 4.48.

4.47. Побудувати з отриманих у задачі 4.46 "базисних" тензорів шляхом утворення лінійних комбінацій одновісні тензори четвертого рангу найбільш загального вигляду, компоненти яких не змінюються за довільного повороту системи координат навколо напрямку вектора s , для тензорів симетрії: а) повністю

симетричного; б) такого, що є симетричним відносно перестановки пар індексів λijkl = λklij та індексів у парі λijkl = λ jikl (симет-

рія тензора пружних сталих).

4.48. Показати, що число незалежних компонент повністю симетричного тензора четвертого рангу найбільш загального вигляду, компоненти якого не змінюються за довільного повороту системи координат навколо напрямку вектора s , дорівнює

трьом, а його загальний вигляд збігається з отриманим у задачі 4.46. Записати загальний вигляд тензора через незалежні ком-

поненти.

4.49. Одиничний вектор n із однаковою ймовірністю може набувати довільної орієнтації у просторі. Знайти середні зна-

набувати довільної орієнтації у просторі. Обчислити середні значення таких добутків (означення середнього – див. примітку

рівноймовірні. Вектори n і s вважати одиничними. Простежити граничний перехід до сферично симетричного розподілу, що відповідає умовам задачі 4.49.

4.52*. Полікристалічне середовище складається із хаотично орієнтованих гексагональних мікрокристалів однакового розміру, причому осі симетрії мікрокристалів мають переважний напрямок орієнтації n, а напрямки інших кристалічних осей рівноймо-

вірні. Функція розподілу осей мікрокристалів за напрямками f(θ), де θ – кут між вектором n і віссю мікрокристала, визначена як у задачі 4.48, є заданою. Відомо, що фізичні властивості мікрокристала можна описати за допомогою деякого тензора. Знайти середнє за об'ємом значення такого тензора для середовища. Розглянути випадки тензорів: а) довільного симетричного другого рангу; б) довільного повністю симетричного четвертого рангу.

40