Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ovta-zbirnyk-zadach

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
07.03.2016
Размер:
1.46 Mб
Скачать

11.19.Довести, що потік соленоїдального векторного поля через поверхню S, яка спирається на замкнений контур L, не залежить від вигляду поверхні, а визначається самим контуром.

11.20.Знайти потік векторного поля A = r2er + r2 cos ϕeϕ че-

рез поверхню сфери радіуса R із центром у початку координат. 11.21. Знайти потік векторного поля (як безпосереднім інтегруванням, так і з використанням теореми Остроградського–Гаусса)

A = rer у сферичних координатах через замкнену поверхню, що

утворена верхньою напівсферою радіуса а із центром у початку координат та площиною θ = π/2 у напрямку зовнішньої нормалі.

11.22. Довести,

що потік векторного поля A через поверх-

ню S, задану рівнянням r = r (u,v)

( (u,v) Ω),

∫∫

(A n )dS =

∫∫

 

 

r

,

r

 

 

u

v

S

Ω

A,

 

dudv.

11.23. Обчислити поверхневий інтеграл ∫∫S dSr2 (S – частина цилін-

дра, заданого рівнянням x2 + y2 = R2, обмежена поверхнями z = 0, z = H, r – відстаньдопочаткукоординат відточки поверхні).

11.24. Обчислити поверхневий інтеграл In =

∫∫ rn

dS по сфері

 

S

радіуса a, де r – відстань від точки на сфері до деякої фіксованої

точки, розташованої на відстані с від центра сфери.

 

11.25. Знайти

положення центра

мас

половини

круга

x2 + y2 = R2, y 0 (розподіл маси – однорідний).

 

11.26. Знайти

головні моменти

інерції

частини

сфери

x2 + y2 + z2 = R2, яка лежить вище площини z = R cosα ("сферична шапка"). Розподіл маси – однорідний, із поверхневою густиною ρ.

11.27. Знайти головні моменти інерції суцільних однорідних тіл масою m (у п. б)–з) відносно центра мас): а) тонкого стержня довжини l відносно його кінця; б) тонкого стержня довжини l; в) кулі радіуса R; г) півкулі радіуса R; д) кругового циліндра радіуса R і висоти h; є) прямокутного паралелепіпеда з довжинами ребер a, b, c; ж) кругового конуса з висотою h і радіусом основи R; з) тривісного еліпсоїда з півосями a, b, c.

91

Відповіді та вказівки

Векторна алгебра

1.2. Указівка: підставивши до a × b розкладання векторів a і b

за базисом ПДСК, розкрити дужки, використовуючи властивості векторного добутку.

1.3. Указівка: використати вирази для розкладання векторів a і b за базисом і вирази для добутків ортів ПДСК.

1.4. azbx axbz ;

dx f y

d y fx .

 

 

 

 

1.5. e

e = 0 ,

e

±

e

= 0 , e

e

= 2 , e

2 = 1 ;

 

±

±

 

0

+

 

0

 

 

e± ×e0 = ±ie± , e+ ×e= 2ie0 , e0 ×e0 = 0 .

1.6. a)

ey ; б) 0. 1.7. a) b (a c ) c (a b ) ; б) b (a c ) a (b c ) .

1.9. b a , c . 1.10. 2(a ×b) . 1.11.

7 5.

1.12. ±(6 j +8k ) . 1.14. π/3.

1.15. arccos(1/

3).

 

1.16. cos Φ =

cos β − cos αcos γ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin αsin γ

1.17.(r1 × r2 + r2 × r3 + r3 × r1 )/2 .

1.18.Указівка: використати подання вектора площі через вектор-

ний добуток векторів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.19. Вектори

a,

b , c

 

є довільною правою трійкою ортонормо-

ваних векторів.

 

 

 

 

 

 

1.20. 3/2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a

 

1.22. Указівка: у ряд Тейлора за ε

 

розкласти вираз cos ϕ =

, де

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a b )2 a 2b2

 

 

 

 

a a

 

a= (a

1/2

. Відповідь: cos ϕ = 1 + ε

2

 

 

 

2

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ o(ε

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

2a4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

2 a2b2 (a b )2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

= a + ε a

 

+ ε

 

 

2a3

 

 

+ o(ε ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

(n

r)

2

 

 

r2

 

 

де n =

r

.

 

 

 

 

 

 

 

1.23. r n r′ +

 

 

+ o

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n r

 

 

3(n r)2

r2

 

 

 

r

2

, де n =

 

r

 

.

 

 

 

 

 

1.24.

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+ o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.25.p < 0, p > 3 – права, 0 < p < 3 – ліва трійка векторів.

1.26.Указівка: обчислити мішаний добуток цих векторів.

1.27. 2V.

1.28. 2a3 ; 2V.

1.29. 6V ( 6V ), якщо

вектори DA, DB, DC утворюють праву

(ліву) трійку векторів.

1.30. sin αsin βsin γ.

1.31. Указівка: обчислити дипольний момент системи відносно двох різних точок і порівняти отримані результати.

1.32. p = Q(R+

R), де Q = ek+ = ek, R+ =

ek+r+k+ ,

R= ekrk.

 

 

 

 

ek

ek

1.33. 3 AD .

1.34.

2 OF .

 

m1r1 +m2r2 +…+mnrn

 

1.35. F = k(m +m +…+m )(ρ−r ),

де ρ=

;

 

1

2

n

 

m1 +m2

+…+mn

 

 

 

 

положення точки рівноваги R0 = ρ.

1.36. Указівка: розкрити (a ×b ) (a ×b ) = a (b × (a ×b )) =

1.41. Указівка: скористатися результатом задачі 1.39.

1.50.Указівка: використати результат задачі 1.41.

1.51.Указівка. Якщо (a, b , c ) 0, то розв'язок системи рівнянь ви-

значає радіус-вектор точки перетину трьох площин із нормалями a, b і c, відповідно. Тому радіус-вектор x має бути перпендикулярний одночасно до векторів a, b і c; шукати його треба у вигляді розкладання x = p(b × c ) + q(c × a ) + r(a × b ), де p, q, r

скалярні (правильніше – псевдоскалярні, див. розд. 6) величини, які легко знайти, підставивши таке розкладання послідовно до трьох вихідних рівнянь системи.

Відповідь: x = α(b × c ) + β(c × a ) + γ(a × b ) .

(a, b , c )

1.53.a + b + c = 0 .

1.54.Указівка: виразити вектори медіан трикутника через вектори

його сторін.

1.56. Указівка: побудувати трикутник так, щоб a + b = c , і це співвідношення піднести до квадрату.

1.57. Указівка: співвідношення a + b = c , справедливе для трикутника, послідовно векторно помножити на вектори a, b і c.

93

1.58. Указівка: для cos(α + β) і sin (α + β) – у площині xOy із по-

чатку системи координат побудувати одиничні вектори a та b такі, що (a,Ox) = α, (b , Ox) = β, (a, b ) = α + β. Розглянути скалярний a b і векторний a ×b добутки векторів.

1.60.a= n(a n) +n ×(a ×n).

1.61.cos Φ = sin θsin θ′cos(ϕ − ϕ′) + cos θcos θ′.

1.62.Указівка: розглянути тотожність

(a × b ) (a × c ) = a 2 (b c ) (a b )(a c ) .

1.63. Указівка: розглянути тотожність (a ×b ) ×(a ×c) = a(a,b,c) та її аналоги.

1.64. sin 2

 

 

1

 

 

 

 

1

cos γ

cos β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ =

 

 

 

 

cos γ

1

 

cos α

.

sin 2 γ

 

 

 

 

 

 

 

 

cos β

cos α

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a 2

 

 

 

 

ab cos γ

ac cos β

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

1.65. V =

ab cos γ

 

 

b2

 

bc cos α

 

.

 

6

ac cos β

 

 

bc cos α

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.66. h =

(a, b , c )

 

 

c ×a + a ×b + b × c

 

 

 

.

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

c ×a + a ×b + b × c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.67. n = A(b × c + c × a + a × b ) , де A = const.

1.68. Коло. Вписаний до кола кут, що спирається на його діаметр, – прямий.

1.69. (r r1) n = 0.

1.70. (r r1,r2 r1,a) = 0.

1.71. (r r , a,b ) = 0.

1.72. r (r1 ×r2 + r2 ×r3 + r3 ×r1 ) = (r1, r2 , r3 ).

1

1.73. r n = d .

1.74. (r r1) n = 0.

1.75. (r r1,r2 r1,n) = 0.

1.76. (r r1,n1,n2) = 0.

1.77. r (r

r ) = 1

2

(r2

r 2 ).

1.78. (r r ) ( A r × a ) = 0.

1

2

 

1

2

 

 

1

1

1.79. (r r1, a1, a2 ) = 0.

 

1.80. (r , a1 , a2 ) = A1 a2 .

1.81. (r , a , n ) =

A n.

 

 

1.82. (α − r0 N )/(v N ).

1.83. r r = R2 ;

r r = R2 .

1.84.

d

=

α − r1

N

 

 

 

.

 

 

 

1

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

94

 

 

 

 

 

 

1.85. cos ϕ =

n1 n2

;

n ×n

 

= 0,

(n n ) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1n2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1 + N (α − r1 N )/N 2 ;

 

1.87. (a, b , c ) = 0.

 

 

 

 

 

 

1.88. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) r1 + 2 N (α − r1 N )/N 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.89. (r r ) × a = 0.

 

 

 

 

 

1.90. (r r1 ) × (r2 r1 ) = 0.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.91. (r r1 ) × (a × b ) = 0.

 

 

 

 

1.92. r × (a × b ) = βa − αb .

 

1.94. sin Φ =

 

a N

 

.

 

 

 

 

 

 

1.95. r ×s = 0, де s = a ×(r1 ×a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.96. (r r1) ×s = 0, де s = (r1 × a A) × a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.97. d =

 

 

r1 ×a

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.98. d =

 

 

 

r1 × a A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

a

 

a

 

 

 

 

 

 

1.99.

αb + a ×B

.

 

 

 

 

 

 

1.100. d =

 

b +B

 

; A b+B a=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

a×b

 

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.101. r × a = A,

де

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =a1×a2, A = a × A

+ A

×a

 

+

 

 

 

(a ×a

)(a a

)(a

A

+ A a

).

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

1

2

 

a

×a

 

2

1

2

1 2

1

 

2

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.102. r × s = d (a × n) (a, n, r1 )n, де s = n ×(a × n).

 

 

 

1.103. a1 A2 + a2 A1 = 0 або a1 × a2 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.104. а) r1 + a ((r0 r1 ) a )/a2 ;

б) 2r1 + 2a ((r0 r1 ) a )/a2 r0 .

 

1.105. Указівка: сторони вихідного чотирикутника подати у вигляді векторів a, b , c, d так, щоб a + b + c + d = 0.

1.106. Указівка: радіус-вектори середин діагоналей чотирикутника виразити через радіус-вектори його вершин.

1.107. Указівка: якщо точки А, В і С лежать на одній прямій, то вектори AB та AC – колінеарні.

1.108. Указівка: якщо точки А, В, С і D лежать в одній площині, то

вектори AB,

AC та AD – компланарні.

1.109. (r + r

+ r )/3.

1.110.

ar1 +br2 + cr3

.

 

1

2

3

 

 

a +b + c

 

r1 tg A + r2 tg B + r3 tg C

 

 

1.111.

,

де A, B,C – кути при відповід-

 

 

 

tg A + tg B + tg C

 

них вершинах

 

 

 

 

 

95

 

 

1.112.

 

α2b 2a(a b) −αβ(a ×b)

.

1.113.

a + b a + b (a b )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α(α2 2a2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + b2

 

 

 

1.114.

a q + pb

.

 

1.115. x =

(b , c , d )

,

y =

(c , a, d )

, z =

(a , b , d )

.

 

 

 

a b

 

 

 

(a, b , c )

 

 

(a, b , c )

(a, b , c )

1.116.

 

x =

 

a d

,

y =

b d

 

,

 

z =

 

 

c d

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a, b , c )

 

 

(a, b , c )

 

 

(a,b , c )

 

 

 

1.117. Див. відповідь задачі 1.115.

Ортогональні перетворення декартової системи координат

 

 

1

0

0

 

 

 

α

0

 

 

 

0

0

−1

 

;

 

б)

 

0

−1

2.3. а)

 

 

 

 

 

 

0

1

0

 

 

 

 

 

±β 0

 

 

 

 

 

 

 

 

причому α = ±1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

−1

 

 

0

cos α

 

 

 

0

1

0

 

,

 

 

0

 

sin α

2.4. а)

 

б)

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

− sin

α

cos α

 

0

 

 

 

г)

cos α

sin α

 

0

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

3

1/

2

−1/

6

 

2.5.

 

 

3

 

0

 

2/

 

 

1/

 

 

6 .

 

 

1/

3

−1/

2

−1/

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/

2

−1/2

 

−1/2

 

2.7.

 

−1/

2

−1/2

 

−1/2

 

 

 

.

 

 

 

0

1/

2

 

−1/

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

0

α

0

 

0

 

;

 

 

 

 

0 0

 

 

,

 

 

в)

 

α

α

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

sin α

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

,

в)

 

0

 

−1

0

 

 

− cos α

 

 

;

 

0

 

 

 

 

 

1

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

α

β

 

 

 

2.6.

 

1

0

0

 

 

 

 

.

 

 

 

 

0

β

 

 

 

 

 

 

−α

 

 

 

 

 

0

 

0

1

 

2.8.

 

1/

2

−1/ 2

0

 

 

.

 

 

1/

2

1/

2

0

 

 

 

 

96

 

 

1 0

0

 

 

−1 0

0

 

 

−1 0

0

2.10.

 

0

−1

0

 

,

 

0

1

0

 

;

 

0

−1

0

 

a)

 

б)

 

в)

.

 

 

0

0

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

−1

 

 

1

 

 

−1

2.11. Указівка: для обох видів перетворень побудувати матриці

переходу та порівняти їх.

cosα 0

 

 

 

cosα

sinα

 

 

 

 

 

1

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

−sinα

 

 

 

 

 

cosα

 

 

0

 

1

0

 

−sinα

cosα

 

2.12. а) 0

sinα ,

б)

 

, в)

0 .

 

 

 

 

−sinα

 

 

 

 

 

 

0

cosα

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

cosα

sinα

 

 

 

1

 

cosϕ

sin

ϕ

0

 

 

cosϕcosθ

 

−sinϕ

cosϕsinθ

 

2.13.

 

−sinϕ

cosϕ

0

 

2.14.

 

 

 

 

cosϕ

 

 

 

 

 

.

sinϕcosθ

 

sinϕsinθ .

 

 

 

 

0

 

0

 

−1

 

 

 

−sinθ

 

0

 

cosθ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.15. Указівка: для пошуку матриці переходу можна скористатись законом перетворення компонент радіус-вектора при заміні ба-

зису та результатом задачі 1.60.

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

0

−1

0

 

 

1/3

−2/3

 

 

 

 

 

 

 

 

−2/3

 

а)

 

0

1

0

 

, б)

 

−1

0

0 , в)

 

−2/3

1/3

−2/3

, г) A= E − 2n n.

 

 

0

0

 

 

 

 

0

0

 

 

 

−2/3

−2/3

 

 

 

 

−1

 

 

1

 

1/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.16. Указівка: розглянути закон перетворення довільного вектора

a = n (a n ) + n × (a × n ) = a

 

+ a

при повороті на кут ϕ відносно

n. Відповіді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2 cos ϕ

 

 

 

4

 

 

 

 

ϕ

 

 

ϕ

+

π

4

 

 

 

ϕ

 

ϕ

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

sin

 

 

 

 

sin

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

3

 

2

2

3

 

 

 

 

 

 

ϕ

ϕ

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

4

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2 cos ϕ

 

 

4

 

 

 

ϕ

 

ϕ

+

π

 

 

 

sin

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

sin

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

π

3

 

 

 

2

 

2

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

ϕ

 

ϕ

+

π

4

 

 

 

 

ϕ

 

 

ϕ

 

 

1 + 2 cos ϕ

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

3

 

2

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) αij = cosϕδij + (1 − cosϕ)nin j

+ sin ϕεijk nk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.17. αij = δij + δϕεijk nk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.18. а)

 

a

 

= 1,

б)

 

a

 

= 1, в)

 

a

 

=

3, β = ±1/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.19. Матриця повороту на три кути Ейлера ψ, θ, ϕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosψcosϕ−sin ψcosθsin ϕ

sin ψcosϕ+cosψcosθsin ϕ

sin θsin ϕ

 

cosψsin ϕ−sin ψcosθcosϕ

sinψsin ϕ+cosψcosθcosϕ

 

 

 

sinθcosϕ .

 

sin ψsin θ

cosψsin θ

cosθ

 

 

 

Матрицю переходу від штрихованої системи координат до нештрихованої можна отримати із останньої операцією транспонування. Ця матриця задає коефіцієнти розкладання відповідних базисних векторів нештрихованої системи через базисні вектори штрихованої системи координат

cosψcosϕ−sinψcosθsinϕ

cosψsinϕ−sinψcosθcosϕ

sinψsinθ

 

 

sinψsinϕ+cosψcosθcosϕ

cosψsinθ

sinψcosϕ+cosψcosθsinϕ

 

sinθsinϕ

sinθcosϕ

cosθ

 

2.20.e1 = (cos ψcos ϕ−sin ψcos θsin ϕ) e1′ −

(cos ψsin ϕ+ sin ψcos θcos ϕ) e2′ + sin ψsin θe3, e2 = (sin ψcos ϕ+ cos ψcos θsin ϕ)e1′ −

(sin ψsin ϕ − cos ψcos θcos ϕ) e2′ − cos ψsin θe3, e3 = sin θsin ϕe1′ + sin θcos ϕe2′ + cos θe3.

2.21.e1= (cos ψcos ϕ−sin ψcos θsin ϕ) e1 +

+(sin ψcos ϕ+ cos ψcos θsin ϕ) e2 + sin θsin ϕe3 , e2= (cos ψsin ϕ + sin ψcos θcos ϕ) e1 +

+(cos ψcos θcos ϕ−sin ψsin ϕ) e2 +sin θcosϕe3 ,

e3= sin ψsin θe1 cos ψsin θe2 + cos θe3 .

Указівка: див. результат задачі 2.19.

 

 

 

 

 

 

2.24.

θc

= cos

θa

θb

b ) sin

θa

sin

θb

,

 

 

 

cos 2

2 cos

2 (a

2

2

 

 

c sin

θc = a sin θa cos θb

+ b cos

θa sin

θb

+ (a × b )sin

θa sin

θb .

 

2

2

2

 

2

2

 

 

 

2

2

.

Указівка: скористатись результатом задачі 2.16 та обчислити згортку αijεijk , де αij – результуюча матриця повороту. Задачу

також можна розв'язати, користуючись апаратом кватерніонів.

2.25. а) перетворення подібності, б) розтяг у напрямку

векто-

ра a, в) поворот на кут π навколо напрямку вектора n,

г) де-

формація чистого зсуву: площини b r = c зсуваються у напрямку вектора a на ac, д) просторовий поворот, за якого осі

98

e1, e2 , e3 переходять в осі e1, e2, e3, що супроводжується відпо-

відним дзеркальним відображенням простору, якщо визначник матриці переходу від'ємний.

Перетворення векторів і тензорів при заміні базису

 

a1 cosϕ+ a2 sin ϕ

a1

 

 

x1 cosϕ+ x2 sin ϕ

x1

 

 

3.1.

 

a sin ϕ+ a cosϕ

,

a

 

;

 

x

sin ϕ+ x

cosϕ

, x

 

,

 

 

1

2

 

 

 

2

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

3

 

 

3.2.

 

3

+ 1, 3, 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3. Один із

варіантів: поворот

навколо осі Oz

 

a1

та навколо осі Ox

на кут θ= arctg(

2

ϕ = arctg

 

 

 

a1

a2

 

x = a b .

на

кут

+a22

a3 ).

Указівка: після першого повороту вектор лежить в одній із координатних площин.

 

I1

0

 

 

0

 

 

 

 

0

I2 cos2 ϕ + I3 sin 2 ϕ

 

 

 

 

 

3.4.

 

(I3 I2 ) sin ϕcos ϕ .

 

 

0

(I3 I2 ) sin ϕcos ϕ

I2 sin

2

ϕ + I3 cos

2

 

 

 

 

 

ϕ

3.5. Указівка: порівняти закони перетворення вказаних об'єктів за ортогональних перетворень системи координат.

3.6.t11= t22 , t12= t21 .

3.7.Скористаємось результатом задачі 3.5: компоненти тензора

перетворюються за таким самим законом, що й добутки відповідних координат вектора (тут порядок множників принциповий). Наприклад, компонента t11перетворюється за таким самим за-

коном, як

 

 

′ ′

= (x1 )(x1 ) = x1x1, тобто

= t11 , компонента

 

x1x1

t11

t12

′ ′

 

 

 

 

 

 

 

 

= t12 , тощо.

 

– як x1x2 = (x1)(x2 ) = x1x2 , тобто t12

 

 

t11

t12

t13

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

t

21

t

22

t

23

.

3.8. (t

22

t

)sin ϕcosϕ+t cos2ϕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

 

 

t

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

32

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

 

 

 

 

 

3.9. Поворот навколо осі Oz на кут ϕ =

 

1

arctg

 

 

2t12

.

 

 

2

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

t11 t12

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

t11

t12

0

 

 

 

 

t11

0

0

 

3.10. а), д)

 

t22

0

 

; б), г)

 

t12

t11

0

 

; в),

є)

 

0

t22 0

 

t21

 

 

 

 

.

 

0 0

t

 

 

 

0

0 t

 

 

 

 

 

0

0

t

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

33

 

3.12. Указівка: знайти закон перетворення об'єкта за ортогональних перетворень системи координат.

3.13. a± = 1 2 (ax ± iay ),

 

ax = a+ + a, ay = i(aa+) .

3.14. а)

e+ e= 2,

e+ e+ = 0,

ee= 0,

 

e0 e± = 0,

 

 

 

 

e×e+ = 2ie0 , e+ ×e0 = ie+, e0 ×e= ie,

 

б) a b = 2(ab+ + a+b) + aobo , [a b ]± = ±i(aob± a± bo )

 

 

[a b ] = 2i(a

+

b a

b )

в) a

= a

±

e iϕ

, a

= a .

3.15. t

 

 

 

 

o

 

 

 

+

 

 

 

±

 

 

 

 

 

 

o

o

 

= t

±

, t

= t

±±

e 2iϕ

, t

 

= t

oo

,

t

 

= t

±o

e iϕ .

±

 

 

±±

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

±o

 

 

 

1 + cos θ ei(ϕ+ψ)

 

 

 

i sin θeiϕ

 

 

1 cos θ ei(ϕ−ψ)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i sin θ eiψ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i sin θ eiψ

 

 

 

 

3.16.

 

 

 

 

 

 

cos θ

 

 

 

 

 

матриця

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− cos θ

 

i(ϕ−ψ)

 

 

 

 

 

 

iϕ

1 + cos θ

 

i(ϕ+ψ)

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

i sin θe

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

реходу від ( A, A0 , A+ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

до ( A, A0

, A+ ).

 

 

 

 

 

 

 

 

,

пе-

3.17.Указівка: розглянутибудь-який поворотсистеми координат.

3.18.Указівка: розглянути будь-який поворот системи координат

(напр., на кут ϕ навколо осі Oz).

ω′ = (−ω1, −ω2 ,ω3 ), ω′ = (ω1,ω2 , ω3 ) .

3.20.(λ123 − λ132 + λ133 − λ122 )/2 .

3.21.а) n + n(n 1) + n(n 1)(n 2)/3! ; б) n(n 1)(n 2)/3!

3.22.Рівними нулю будуть усі компоненти, в яких індекс 3 зустрічається непарну кількість разів. Відмінні від нуля: λ1111,

λ2222, λ1122, λ1133, λ1222, λ1112, λ2233, λ1233, λ3333 та їх симетричні пе-

рестановки.

3.23.21.

3.24.Три лінійно незалежні компоненти: λ1111 = λ2222 = λ3333, λ1212 = λ1313 = λ2323, λ1122 = λ2233 = λ1133 та їх симетричні перестановки.

100

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]