ovta-zbirnyk-zadach
.pdfа) σ2 = σ2 |
= σ2 = E; |
б) σ |
σ |
j |
+ σ |
σ |
i |
= 2δ |
ij |
E; |
|
1 |
2 |
3 |
i |
|
j |
|
|
|
|||
в) σiσj |
−σjσi = 2iεijk σk ; г) (σ a)(σ b) = (a b)E +iσ (a ×b), |
||||||||||
де a та b – довільні вектори, E – одинична матриця. |
|||||||||||
6.19. Довести: Sp(σi ) = 0, Sp(σiσj ) = 2δij , |
|
Sp(σiσjσk ) = 2iεijk , |
|||||||||
де σi – матриці Паулі, i = 1, 2,3 (див. задачу 5.7).
6.20. Задано комбінації u = xE +iσ y, u+ = xE −iσ y, де х – скаляр, y – вектор із дійсними компонентами. Довести, викори-
стовуючи |
результати |
задачі 6.18: |
а) u+u = (x2 + y2 )E, |
б) uu = (x2 − y2 )E + 2ix(σ y), |
в) u+ u+ = (x2 − y2 )E − 2ix(σ y), |
||
г) udu = (xdx − y dy)E +i(xdy + ydx − y ×dy) σ, д) u+ du = (xdx + y dy)E +i(xdy − ydx + y ×dy) σ, є) u+ du+ = (xdx − y dy)E −i(xdy + ydx + y ×dy) σ.
51
Розділ 7 Векторні функції скалярного аргументу
Похідні від векторних величин за числовими змінними виникають у задачах класичної механіки, де положення матеріальної точки у деякий момент часу t задається векторною функцією скалярного аргументу r (t) (радіус-вектором). Перша та друга
похідні від неї за часом – це швидкість і прискорення матеріальної точки, відповідно. Геометрично функція r (t) при t [a,b]
визначає ділянку деякої тривимірної кривої, яка є траєкторією матеріальної точки.
Лінійні операції аналізу над вектор-функцією r (t) (граничні
переходи, диференціювання та інтегрування за параметром t) можна побудувати прямими узагальненнями відповідних операцій над скалярними функціями. Зокрема, похідна за часом t від вектор-функції r (t) визначається як
r (t) = |
dr (t) |
= lim |
r (t + δt) − r (t) |
|
dt |
δt |
|||
|
δt→0 |
(у класичній механіці похідну за часом позначають крапкою над відповідною величиною).
Зауважимо, що диференціювання за числовим параметром є скалярною операцією, яка не змінює типу об'єкта (похідна зберігає всі його геометричні властивості – аксіальність, полярність тощо). У декартовій системі координат розкладання радіусвектора r (t) за базисом ex , ey , ez має вигляд
r (t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez ,
де орти є сталими, отже похідна за часом від r (t) має вигляд
r (t) = x(t) ex + y(t) ey + z(t) ez .
Правило Лейбніца для похідної від добутку векторних функцій має вигляд
d |
(A(t) B(t)) = |
d A(t) |
B(t) + A(t) |
d B(t) |
|
dt |
dt |
dt |
|||
|
|
для скалярного множення, і
dtd (A(t) ×B(t)) = d dA(tt) ×B(t) + A(t) × d Bd (tt)
52
– для векторного, відповідно. Узагальнення цих формул для більшої кількості множників аналогічне правилу Лейбніца для добутку функцій.
Для розв'язування задач цього розділу можна застосувати ті самі прийоми, що використовуються у розд. 1. Відмінність полягає лише в тому, що після запису диференціальних інваріантних співвідношень або проектування векторів на осі декартової системи координат буде отримано алгебраїчні вирази із похідними. У задачах, де задано виділений напрямок (сталий вектор), зручно ввести систему координат таким чином, щоб цей напрямок збігався з однією із координатних осей (традиційно вибирають вісь Oz). Якщо у задачі немає виділених напрямків, явно вводити конкретну систему координат здебільшого недоцільно.
7.1. Знайти похідні |
за |
часом від функцій: |
|
а) r 2 , б) r ×r , |
||||||
в) (r r ), г) r 2 , д) (r ×r )2 , є) (r , r , r ), ж) r |
r |
. |
|
(a ×(b ×c)) , де |
||||||
|
|
|
d |
|
|
d |
||||
7.2. Обчислити похідні: |
а) |
(a,b,c) ; б) |
||||||||
dt |
||||||||||
dt |
||||||||||
a,b,c – функції часу. |
∫a ×a dt = a ×a +c , де a |
|
||||||||
7.3. Довести рівність |
– функція ча- |
|||||||||
су, c = const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4.Довести, що колінеарність векторів r (t) та r (t) еквівалентна тому, що напрямок r – незмінний.
7.5.Довести, щоумова r = const еквівалентна тому, що r r.
7.6.Довести твердження: 1) якщо радіус-вектор точки r (t)
залишається паралельним деякій |
площині, то (r , r , r ) = 0; |
2) якщо (r , r , r ) = 0, то вектор r (t) |
залишається паралельним |
деякій площині.
7.7. Довести, що траєкторією руху точки є гіпербола, якщо вектор прискорення a(t) = r (t) паралельний до r (t) та a = αr,
де α – додатна константа.
7.8. Плоску лінію задано рівнянням r (t) = (ϕ(t),tϕ(t)) . За якої
умови це рівняння визначає пряму? |
|
|
|
|
|
|
||||
7.9. За якої умови рівність |
|
d |
r (t) |
= |
d |
|
r (t) |
|
є правильною? |
|
|
|
|
||||||||
dt |
dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Відповідь обґрунтувати.
53
7.10. Рух точки визначається рівнянням r = a ×r , де a – ста-
лий вектор. Знайти траєкторії точки, користуючись величинами, що зберігаються за такого руху. Дати можливу фізичну інтерпретацію задачі.
7.11. Знайти закон руху точки, що визначається рівнянням
r= n ×(r ×n), де n – сталий одиничний вектор, і її траєкторію.
7.12.Довести рівність r ×r = c , якщо r = rf (r) .
7.13.Довести твердження: якщо сила, що діє на матеріальну точку, весь час напрямлена вздовж дотичної до траєкторії, то траєкторія є прямою лінією.
7.14*. Виходячи з рівняння Ньютона, знайти рівняння траєк-
торії частинки в кулонівському полі, не користуючись законом збереження енергії.
54
Розділ 8 Диференціальні операції над скалярними та векторними функціями
Диференціальні операції над скалярними та векторними функціями точки простору (полями) визначають без використання конкретної системи координат; вони мають інваріантний зміст і виражаються через символічний векторний диференціальний оператор набла, який у прямокутних декартових координатах
має вигляд
= ex ∂∂x + ey ∂∂y + ez ∂∂z .
Наприклад, дивергенцію векторного поля A формально можна розглядати як скалярний добуток символічного вектора на вектор A, ротор векторного поля – як векторний добуток сим-
волічного вектора на вектор A. Застосування оператора виявляється надзвичайно зручним у багатьох питаннях векторного аналізу. За домовленістю в одночлені за участю операторавін діє на всі величини праворуч від нього (якщо не вказано інше). У прямокутних декартових координатах диференціальні операції першого порядку мають явний вигляд:
ϕ = ex ∂ϕ + ey |
∂ϕ |
+ ez |
∂ϕ, |
|
|
|
|
|
|
(8.1) |
|||||||||
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(v )ϕ = vx ∂ϕ |
+ vy |
∂ϕ |
+ vz |
|
∂ϕ. |
|
|
(8.2) |
|||||||||||
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|||||
|
∂A |
|
|
|
|
∂Ay |
|
|
∂A |
|
|
|
|||||||
div A = A = |
|
x |
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
z |
, |
|
(8.3) |
||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|||||||
|
|
ex |
|
ey |
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
||||||
rot A = × A = |
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
, |
|
|
|
(8.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ax |
|
Ay |
|
|
Az |
|
|
|
|
|
|
||||||
∂A |
|
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
|
|
∂A |
|
(8.5) |
|||||
(v ) A = vx |
∂x |
+ vy |
∂y |
+ vz |
∂z |
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для розв'язування більшості задач цього розділу можна використовувати символічний метод. Усі диференціальні операції
виражають через символічний оператор , який, з одного боку
– є диференціальним оператором, оскільки містить похідні за координатами, а з іншого – є вектором. Кожен доданок у виразі повторюють буквально таку кількість разів, скільки в ньому є
множників праворуч від і на які цей оператор діє. У кожному із таких розписаних доданків домовимося підкреслювати величини, на які діятиме оператор , а всі інші множники відносно
дії вважатимемо сталими. Далі, оскільки оператор – вектор, то формально використовуючи правила векторної алгебри, але пам'ятаючи, що діє лише на підкреслені величини, робимо відповідні перестановки співмножників так, щоб у кожному доданку праворуч оператора залишилися лише підкреслені величини, після чого підкреслення можна опустити та повернутися від виразів через до стандартних позначень для отриманих диференціальних операцій.
Описаний символічний метод для диференціальних операцій над скалярними та векторними об'єктами є узагальненням відомого з математичного аналізу правила Лейбніца для диференціювання добутків функцій. У математичному аналізі у випадку функцій однієї змінної правило Лейбніца записують у вигляді
|
|
d |
( f (x)g(x)) = f (x) |
d g(x) |
+ g(x) |
d f (x) |
, |
||||||
|
|
dx |
d x |
d x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
або, керуючись введеною раніше домовленістю, |
|
||||||||||||
|
|
d |
( f (x)g(x)) = |
d |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
dx |
f (x)g(x) + f (x)g(x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(кількість доданків у правій частині збігається з кількістю множників у лівій). У такій формі запису непідкреслений множник вважається сталим, і його можна винести за оператор похідної.
Типові приклади застосування символічного методу подано у вказівках до задач 8.3 та 8.7.
Пошук градієнта, ротора, дивергенції та їх комбінацій від явно заданих функцій можна проводити, записуючи їх у декартових координатах і здійснюючи диференціювання безпосередньо. Однак для об'єктів, які можна подати у вигляді добутків, доцільно спочатку скористатися символічним методом (або відпо-
56
відними векторними тотожностями, приклади яких подано в задачах 8.2–8.15) і звести задачу пошуку диференціальних операцій до явного диференціювання невеликого числа максимально простих функцій.
За такого підходу процедура пошуку градієнта, ротора та дивергенції аналогічна звичайному диференціюванню з використанням таблиці похідних елементарних функцій. Останні обчислюються попередньо, згідно із прямим означенням диференціальних операцій у декартових координатах. До "елементарних" операцій можна зарахувати, наприклад
(a r ) = a, (a )r = a, r = r |
r |
, div r = 3, rot r = 0, |
|
|
а також деякі вирази, коли функція під похідною залежить лише від r = r , а саме
Φ(r) = |
dΦ(r) |
|
r |
, |
div A(r) = |
dA(r) |
|
r |
, |
rot A(r) = |
r |
× |
dA(r) |
. |
|
dr r |
|
|
dr |
|
r |
|
|
r |
|
dr |
|||
Типові приклади пошуку диференціальних операцій подано у вказівках до задач 8.21 а, б, є, 8.22 ж та 8.23 а.
Від скалярних і векторних полів за допомогою градієнта, дивергенції, ротора можна утворити шість диференціальних операцій другого порядку, що мають зміст:
( A) = grad(div A),
( × A) = div(rot A) ≡ 0,
×( × A) = rot(rot A),
× Φ = ( × )Φ = rot(grad Φ) ≡ 0,
оператор Лапласа (лапласіан) від скалярної функції
ΔΦ = ( )Φ = div(grad Φ)
та оператор Лапласа від векторної функції, який можна обчислювати також за формулою
A = 2 A = ( ) A = ( A) − ×( × A).
57
8.1.Задачі на доведення символічним методом
8.1.Виходячи з означення диференціальних операцій, довес-
ти10:
а) div ϕ = Δϕ; б) rotrot A = divA − A; в) rot ϕ = 0; г) divrot A = 0.
У задачах 8.2–8.15 довести тотожності у безкоординатному підході, використовуючи символічний метод.
8.2.( fg) = g( f ) + f ( g).
8.3.div(ϕA) = ϕdiv A + A ϕ.
8.4.rot(ϕA) = ϕrot A − A×grad ϕ.
8.5.div( A×B) = B rot A − A rot B.
8.6.rot( A×B) = Adiv B − B div A + (B ) A −( A )B.
8.7.( A B) = A×rot B + B ×rot A +(B ) A +( A )B .
8.8.A2 = 2( A ) A + 2 A×rot A .
8.9.( A)B = ( A )B + B div A .
8.10.(B )ϕA = A(B ϕ) +ϕ(B ) A .
8.11.C ( A B) = A (C )B + B (C ) A .
8.12.(C )( A×B) = A×(C )B − B ×(C ) A.
8.13.( A×B) rot C = B ( A )C − A (B )C.
8.14.( A× ) ×B = ( A )B + A×rot B − Adiv B.
8.15.( × A) ×B = Adiv B −( A )B − A×rot B − B ×rot A.
8.16.Довести (A )A = rot A×A, якщо довжинавектора A стала.
8.17.Обчислити n ( ( A n) −rot( A×n)) , якщо A – змінний
вектор, а n – сталий одиничний. |
|
u + 2 u v. |
|
8.18. Довести тотожність |
(uv) = u v + v |
|
|
8.19. Довести тотожності: |
|
2 |
|
′ |
′′ |
; |
|
а) f (ϕ(r )) = f (ϕ) Δϕ(r ) |
+ f (ϕ)( ϕ(r )) |
|
|
10Тут і в наступних задачах великі латинські літери позначаютьGвекторні функції радіус-вектора rG, а малі латинські й грецькі – скалярні функції r.
58
б) |
Δϕα = αϕα−2 (ϕΔϕ+ (α −1)( ϕ)2 ); |
|
|
||||||
в) |
ln ϕ = Δϕϕ |
|
ϕ |
2 |
e |
ϕ |
= e |
ϕ |
(Δϕ+ ( ϕ)2 ). |
− |
ϕ ; г) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.20.Довести, що змінний вектор A = ϕ ψ, де ϕ, ψ – змінні скалярні функції, задовольняє рівність A rot A = 0 .
8.2.Задачі на обчислення
8.21.Обчислити11:
а) r; |
б) (a r ); в) rn ; г) (a r )r; |
д) (α r); є) ln r; |
|
ж) (a )r ; |
|
з) (a r )(b r ); |
і) (a r ) f (r); |
к) (a ×r )2 ; |
л) (a r )2 ; |
м) (a r r3 ). |
|
8.22. Для наведених векторних полів A обчислити div A, rot A:
а) r ; |
б) rr2 ; |
|
в) rrn , n ≠ 2; г) r r ; |
|
д) r r3 ; |
є) r rn ; |
|
|||||||
ж) a ×r ; з) r (a r ); і) a(b r ); |
|
к) arn; |
|
|
л) a ×(r ×b ); |
|
||||||||
м) r ×(a ×r ); |
|
н) a ×r |
; |
|
о) alnr; |
|
п) r(a ×r ). |
|
|
|||||
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рекомендується додатково також обчислити div A, rot rot A, |
|||||||||||||
|
A, |
(B ) A, |
де B – деякий вектор. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8.23. Перетворити вирази: а) ϕ(r); б) |
div A(r); в) |
rot A(r). |
|
||||||||||
|
8.24. Спростити вирази: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) ((a r )ϕ(r)); |
б) div((a r ) A(r)); |
|
|
в) rot((a r ) A(r)); |
|
||||||||
|
г) ((a ×r ) A(r)); |
д) div((a ×r ) × A(r)); |
є) rot((a ×r ) × A(r)). |
|||||||||||
|
8.25. Обчислити: а) Δϕ(r); |
б) |
ϕ(r) |
r |
; |
в) |
A(r) ; г) |
(a r) |
. |
|||||
|
8.26. Обчислити (вектори a, k |
|
|
|
|
rn |
|
|||||||
|
є сталими): |
г) ((a r )eikr ); |
||||||||||||
|
а) eik r ; |
б) |
eikr ; |
|
в) (eikr |
r ); |
||||||||
|
|
|
rG =(x, y, z), r ≡| rG|, |
|
||||||||||
11Тут і в наступних задачах радіус-вектор точки |
a, b – сталі |
|||||||||||||
вектори. Це передбачає використання саме декартової системи координат. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) div(ae |
ikr |
); |
|
rot (aeikr ); |
|
div(A(r)eikr ); |
|
a |
e |
ikr |
|
||||||||
|
є) |
ж) |
з) |
div |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ik r |
|
|
|
r |
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
і) rot |
|
eikr |
|
; |
к) |
eik r ; |
л) |
|
e |
|
|
; |
м) |
eikr . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.27.Знайти таку функцію ϕ(r), що div(rϕ(r)) = 0.
8.28.Для якої функції ϕ(r) виконується div(rϕ(r)) = 2ϕ(r)?
8.29.Обчислити ротор і дивергенцію вектора (a ×r ) ϕ(r) .r
|
|
12m( p − ce |
A(r )) |
2 |
|
|
де A(r ) = 12 B ×r ; |
8.30. Обчислити |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p, B – сталі вектори; |
е, с, m – |
числові параметри (результат |
|||||
обчислення – сила, що діє на частинку із зарядом е у магнітному полі, із точністю до знаку).
8.31.Спростити вирази: а) div(ϕ(r )a ) ; б) div(ϕ(r ) A(r )) .
8.32.Спростити: а) div(ϕ(r)r); б) rot(ϕ(r)r); в) (a )(ϕ(r)r).
8.33.Обчислити rot rot (ϕ(r)a ) .
8.34.Обчислити: а) (A(r) r); б) (A(r) B(r)); в) div(ϕ(r)A(r)); г) rot (ϕ(r) A(r)); д) (a )ϕ(r); є) (a )(ϕ(r)A(r)); ж) (r ×)ϕ(r);
|
r |
|
a r |
|
|||
з) |
div |
|
ϕ(r) ; і) (r ) |
|
|
; к) (a ) A(r). |
|
|
r |
3 |
|
||||
|
r |
|
|
|
|
||
|
8.35. Обчислити: а) (a )2 r2 ; б) (a ×)2 r2 ; в) |
(a ×) ×r . |
|||||
|
8.36. Обчислити: а) ϕ( f (r )) ; б) div A( f (r )) ; в) |
rot A( f (r )), |
|||||
де |
f (r ) |
– деяка скалярна функція векторного аргументу. Роз- |
|||||
глянути частковий випадок f (r ) = a r.
8.37.Спростити вирази: а) (u(r ) u(r )); б) (u(r ) v(r )).
8.38.Обчислити дивергенцію та ротор поля швидкостей v і
поля прискорень a твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, якщо відомо, що v = ω×r ; a = ε×r +ω×(ω×r ), де
ω, ε – сталі вектори.
8.39.Довести, що векторне поле A = ϕ(r)r є потенціальним, знайти його потенціал.
60