Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ovta-zbirnyk-zadach

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2016

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

9.33.

∂

= cos ϕ

∂

−

sin ϕ

∂

= sin ϕ

∂

cos ϕ

∂

∂x

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂y

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

9.34. Lx

= −z

∂

cos ϕ ∂

∂

sin ϕ

+ ρsin ϕ

∂ρ

∂ϕ

∂z

∂

sin ϕ

∂

Ly = z cos ϕ

−

− ρcos ϕ

∂ρ

∂ϕ

∂z

∂ϕ

9.35.

∂

= sin θcos ϕ

∂

cos θcos ϕ ∂

−

sin ϕ

∂

∂x

∂r

∂θ

r sin θ

∂ϕ

∂

cos θsin ϕ ∂

cos ϕ

∂

= sin θsin

∂y

∂r

∂θ

r sin θ

∂ϕ

∂

= cos θ

∂

− sin θ

∂

∂z

∂r

∂θ

∂

9.36. Lx

−

+ cos ϕctg θ

sin

∂θ

∂ϕ

∂

cos ϕ

− sin

ϕctg θ

∂θ

∂ϕ

9.37.

= e

e−iϕ 1

∂

−

∂

+ e

eiϕ 1

∂

+ e

∂

−

∂ρ ρ ∂ϕ

∂z

∂ρ ρ ∂ϕ

= e+e

−iϕ 1

∂

cos θ ∂

∂

sin θ

−

∂r

∂θ

r sin θ ∂ϕ

+e eiϕ

sin θ

∂

+ cos

∂

+ e

cos θ

∂

− sin θ

∂

−

∂r

∂θ

r sin θ ∂ϕ

∂r

∂θ

9.38.

∂

∂f

f (r ) = H H H

∂q1

∂ H

∂f

∂ H H

∂f

∂q2 H

∂q2

∂q3 H

∂q3

9.39.

f =

1 ∂

∂f

1 ∂2 f

∂2 f

2 ,

ρ ∂ρ

∂ρ

∂ϕ

∂z

∂2 f

1 ∂

2 ∂f

∂

∂f

f =

sinθ

2 .

∂r

sinθ ∂θ

∂θ

sin

θ ∂ϕ

121

1 ∂

∂f

∂

∂f

1 ∂2 f

9.40.

+ v

∂v

∂ϕ

u ∂u

∂u

∂v

Aρ

∂Aϕ

Aϕ

2 ∂Aρ

Azez ,

9.41.

Aρ −

−

eρ +

Aϕ

−

eϕ +

ρ2

∂ϕ

ρ2

ρ2 ∂ϕ

( A)

A −

Aρ

−

2 ∂Aϕ

; (

A −

Aϕ

2 ∂Aρ

; ( A) = A .

ρ2

ρ2 ∂ϕ

ρ2

ρ2 ∂ϕ

∂

∂Aϕ

9.42.

A =

Ar −

Ar +

(sin θAθ) +

sin

θ ∂θ

sin

θ ∂ϕ

∂A

cos θ ∂Aϕ

Aθ +

r −

−

eθ +

2sin2 θ

sin2 θ ∂ϕ

∂θ

∂A

Aϕ

+ ctg θ

−

eϕ,

r2 sin θ

∂ϕ

2sin θ

∂ϕ

(

A)r =

−

∂

(sin θAθ)

∂Aϕ

sin θ ∂θ

sin θ ∂ϕ

∂A

cos θ

∂Aϕ

( A)θ =

Aθ

−

;

r 2

2 sin 2

sin 2 θ

∂ϕ

∂θ

∂A

Aϕ

(

A)ϕ =

Aϕ

+ ctg

−

r 2 sin θ

∂ϕ

2 sin θ

∂ϕ

Aϕ2

9.43. (( A ) A)

= Aρ

∂Aρ

Aϕ ∂Aρ

−

+ Az

∂Aρ

∂ϕ

∂z

∂ρ

(( A ) A)

= Aρ

∂Aϕ

Aϕ

∂Aϕ

Aρ Aϕ

+ Az

∂Aϕ

∂ρ

∂z

∂ϕ

(( A ) A)

= Aρ

∂Az +

Aϕ

∂Az

+ Az

∂Az .

∂ρ

∂ϕ

∂z

Aθ2 + Aϕ2

9.44. (( A ) A)

= Ar

∂Ar

Aθ

∂Ar

Aϕ

∂Ar

−

∂r

∂θ

r sin θ ∂ϕ

Aϕ2 ctg θ

(( A ) A)

= Ar

∂Aθ

Aθ

∂Aθ

Aϕ

∂Aθ

Ar Aθ

−

∂r

∂θ

r sin θ ∂ϕ

122

(

( A ) A)

= Ar

∂Aϕ

Aθ

∂Aϕ

∂r

∂θ

9.45. ( t)ρ =

1 ∂

(ρtρρ ) +

∂tρϕ

ρ ∂ρ

∂ϕ

( t)ϕ = ρ1 ∂∂ϕtϕϕ + ∂∂ρtρϕ +ρ2 tρϕ + ∂∂tϕzz ,

Aϕ

∂Aϕ

Aϕ Ar

Aθ Aϕ ctg θ

r sin θ ∂ϕ

∂tρz

−

tϕϕ +

∂z

1 ∂tϕz

1 ∂

∂t

( t)z =

(ρtρz ) +

∂ρ

∂ϕ

∂z

Указівка: ( t )

∑tij,i H j = ∑

H j

∂

(

gtij ) + H j ∑ Γlij tli =

( j)

g ∂q

i,l

∂

(ij )

(il )

∂

H e

∑

i (

∂q

Hi Hl

( j)

∂q

l (l) )

Hi H j

i,l

і скористатися результатом задачі 9.28.

∂trϕ

tθθ + tϕϕ

9.46. ( t)r

∂

(r2trr ) +

∂

(trθ sin θ)

−

r2 ∂r

r sin θ ∂θ

r sin θ ∂ϕ

( t)

∂

∂tθϕ

ctgθ

θ +

rθ −

)

sin

∂r

rθ

rsin θ ∂θ

θθ

rsinθ ∂ϕ

ϕϕ

( t)ϕ

∂

trϕ) +

1 ∂tθϕ

∂tϕϕ

trϕ

2 ctg

tθϕ .

r2 ∂r

∂θ

r sin

∂ϕ

Указівка: див. указівку до задачі 9.45.

9.47. (t )u = tρρ

∂uρ

1 ∂uϕ

uρ

∂u

+ tϕϕ

+ tzz

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

∂

uϕ

1 ∂uρ

+ t

1 ∂uz

∂uϕ

+ t

∂uz

∂uρ

ϕz

ρϕ

∂ρ

ρ ∂ϕ

∂z

ρz

∂ρ

∂z

Указівка:

(t )u = ∑t(ij)u(ij)

де

u(ij)

– компоненти тензора де-

формацій, обчислені в задачі 9.29.

9.48.

∂uϕ

(t )u = trr

∂ur

1 ∂uθ

uθ ctg θ

∂r

+ tθθ

+ tϕϕ

r ∂θ

r sin θ ∂ϕ

∂uθ

∂ur

uθ

∂uϕ

1 ∂ur

uϕ

+ trθ

−

+ trϕ

−

∂r

∂θ

∂r

r sin θ ∂ϕ

1 ∂uϕ

∂uθ

ctg θ

+tθϕ

−

uϕ

∂θ

r sin θ ∂ϕ

123

Указівка: див. указівку до задачі 9.47 та результат задачі 9.30.

9.49. У циліндричних координатах ( r – циліндричний радіус):

∂Ez

∂Eϕ

∂Er

∂Ez

∂

∂Er

− r

+ eϕ

−

(rE

ϕ ) −

∂ϕ

∂z

∂r

∂ϕ

= −(Br er + Bϕeϕ + Bz ez ) ,

∂H z

− r

∂H ϕ

+ eϕ

∂H r

−

∂H z

∂

(rH ϕ ) −

∂H r

∂ϕ

∂z

∂r

∂ϕ

∂z

= Dr er + Dϕeϕ + Dz ez + jr er + jϕeϕ + jz ez ,

1 ∂

1 ∂Dϕ

∂D

1 ∂

1 ∂Bϕ

∂B

(rD ) +

z = ρ,

(rB

) +

z = 0 .

r ∂r

r ∂ϕ

∂z

r ∂r

r ∂ϕ

∂z

У сферичних координатах:

e	r	∂	(sin θEϕ ) −	∂E	θ	+

		∂θ
r sin θ				∂ϕ

e			1		∂E			∂
	θ					r	−		(rEϕ )	+
								∂r
r		sin		θ ∂ϕ

eϕ

∂

∂Er

(rEθ ) −

= −(Brer

+ Bϕeϕ + Bzez ),

∂r

∂θ

∂

∂H

∂

(sin θH ϕ ) −

r −

(rH ϕ )

r sin θ

∂θ

∂r

∂ϕ

sin

θ ∂ϕ

eϕ

∂

(rHθ ) −

∂Hr

= Drer + Dϕeϕ + Dzez + jrer + jϕeϕ + jzez ,

∂r

∂θ

∂Dϕ

∂

(r2Dr )

∂

(sin θDθ) +

= ρ ,

∂r

rsin θ

∂ϕ

rsin θ

∂ϕ

∂

∂Bϕ

Br )+

(sin θBθ )

= 0.

∂r

r sin θ

∂ϕ

r sin θ

∂ϕ

a − 3ar er

9.50. а)

3; б) 0; в)

г) a;

д)

3 f + rf

′

є) 0;

ж)

; з) 0;

;

і) (3arer − a)r3 .

ik r

eikr

9.51. а)

−

; б) ike

;

в)

(ikr −1) .

r 2

9.52. а)

areikr

(ikr −1); б)

eikr

(ikr

−1)(a e

− a e

); в) ik ×a eik r .

θ ϕ

ϕ θ

9.53. а)

2(ρ+ cos ϕ)e

−

(2ρsin ϕ+ ez cos ϕ)e

−ez sin ϕe

;

124

б) ze

−

cos ϕ

e ; в)

2 +

cos ϕ− eϕ sin z ; г) −2ρe

sin ϕ

9.54. а) 2r sin θer + r cos θeθ; б) −αr −3 (2 cos θer

+ sin θeθ ); в) 0; г) 0.

9.55. − cos2

+ const .

9.56. 1 2 (ρ2 + ϕ2 + z2 ) + const .

9.59. m(m +1)r m−2 ,

9.57. rθ+ const .

r/2 .

Інтегральні теореми

10.1. Указівка: в а), в) помножити ліву частину тотожності скалярно на довільний сталий вектор c і скористатися теоремою Остроградського–Гаусса.

10.2. Указівка: а) помножити ліву частину тотожності скалярно на

довільний	сталий	вектор c	і скористатися	теоремою Стокса
c ∫ ϕdl =	∫ cϕ dl =∫rot(cϕ) dS =−∫(c × ϕ) ndS =c ∫(n× )ϕdS.
L(S)	L(S)	S	S	S

Оскільки остання рівність задовольняється для довільного c, то
справедлива тотожність				∫ ϕdl = ∫(n × ) ϕdS.
				L( S )	S
б)	∫ ϕ dl	= ∫ rot ( ϕ) dS = 0 .
	L( S )	S		(c × A) dl = −∫ ( × (c × A)) dS =
в) c ∫ (τ × A)dl = − ∫				(c × A) dl = −∫ ( × (c × A)) dS =
	L( S )		L( S )		S
		= −∫n		( × (c × A)) dS = ∫n ( × (A × c )) dS =
			= ∫S (n × ) ( A × c ) dS = S∫((n × )× A)dS c .
			S			S
10.3. ∫ ((Δϕ)2 + grad ϕ grad Δϕ)dV .					10.4.	∫ ϕrot A n dS.
	V					S (V )
10.5. а) aV ;		б) aV ;	в) 3aV ; г) −2a∫ f (r)dV + ∫				f ′(r)	r ×(r ×a )dV;
10.5. а) aV ;		б) aV ;	в) 3aV ; г) −2a∫ f (r)dV + ∫					r ×(r ×a )dV;
			10.6. (n ×a)S.				r
д)	−2(a b)V.		10.6. (n ×a)S.				10.7. 3Sn .
10.9. а) ∫ 4(a r )dV ;				df (a r )		∫ a grad ϕdV ;
10.9. а) ∫ 4(a r )dV ;			б) ∫ a d (a r )		dV ; в)	∫ a grad ϕdV ;
	V		V			V
				125

г) ∫

r ×a

f ′(r) dV ; д) −2∫ (a r )dV .

∫ (B rot A − A rot B)dV ;

10.10. а)

∫ (ϕdiv A + A grad ϕ)dV ;

б)

в)

∫ (ϕdiv(ψgrad χ) + ψgrad ϕ grad χ)dV ;

−∫ (( A)2 + rot A

rot A)dV ;

г)

∫ grad ϕ rot AdV ; д)

∫ ΔϕdV ;

є)

ж)

∫ (B × rot A + ( A )B + A × rot B − Adiv B )dV .

∫ (r × rot A + (r ) A + A)dV ;

б) ∫ ia keik r dV ;

10.11. а)

ik r

eik r

в) ∫ ia ×k e

dV ;

г) ∫ a ik

−

dV .

10.12. а)

∫ ieik r (k ×a ) n dS;

б)

∫ ia ×(n ×k )eik r dS;

eik r

в)

∫

(a ×(−ikr2 + r )) dS.

скористатися

векторною

тотожністю

10.13. Указівка:

j grad(c r ) =div (

j (c r ))−(c r )div j ,

де c – довільний сталий

вектор.

скористатися

векторною

тотожністю

10.14. Указівка:

div ( j (c r )(b r ))

= (c r )(b r )div j + j b (c r ) + c (b r ) , де c ,

b – довільні сталі вектори.

10.15. Указівка:

= −4πδ(r − r′) .

r − r′

f = div ( f grad g − g grad f ) ,

10.16. Указівка:

g − g

div ( f grad g ) = f

g + grad f grad g .

10.17. Указівка:

A ( ×( × B)) − B ( ×( × A)) = − ( A×rot B) + (B ×rot A) .

	2π		1	+ k				4π			4π	(a b ) .

10.18.	k	ln		− k	.	10.19.			.	10.20.
			1					1 − k 2			3
							126

10.21.154π ((a b )(c d ) + (a c )(b d ) + (a d )(b c )) .

10.22.Ii (k ) утворюють вектор I (k ) = k (1 − I0 ) / k. Jij (k ) утво-

рюють одновісний тензор другого рангу

Jij

= Cδij + Dkik j , де

C = (I0k2 − I0 +1)

2k2 , D = (3I0 −3 − I0k2 )

2k4 , I0 =

1 + k

1 −k

10.23.

4π

(a k )

1 + k

−

1 − k

2π

(a k )

1 + k

10.24.

−

− k

1 − k

∫

]

3 [

10.25.

( y

− y′)dz′

− ( z − z′)dy′ ,

[( z − z′)dx′ − ( x − x′)dz′] ,

H y = kI ∫

[( x − x′)dy′ − ( y − y′)dx′].

H z

= kI ∫

10.26. cρ

∂T

= div (k T ),

де с – питома теплоємність, ρ – густи-

на тіла.

∂t

розглянути

потік рідини

через

довільний

10.27. Указівка:

об'єм v, що міститься в об'ємі V.

Обчислення криволінійних і поверхневих інтегралів

11.1. Контур С ( x2 + y 2 = a2 ) збігається із координатною ϕ – лінією). Подамо вихідний інтеграл I в інваріантній формі, ура-

ховуючи, що xdy − ydx =	r ×dl		та xdx + ydy = r dl :
		z			r dl
I = −∫	1			+ ∫	r dl
I = −∫	ρ2	r ×dl z		+ ∫	a2	.
C				C

Оскільки на контурі C dl = aeϕdϕ, r = aeρ , то

I = −2∫π (eρ ×eϕ ) ez dϕ = −2π.

127

11.2. 2π 2a2 sin(π/4 − α).	11.3. а) 0, б) πh3, в) 3πR2h,		г) π.
11.4. а) 0, б) 0. 11.5. 3π/8.	11.6. 0. 11.7. –2π.	11.8. 0.	11.9. π/5.
11.10. а) πh3; б) 19π/3; в) а5; г) R5/3.		11.11. 4πа3.
11.12. 8π(a + b + c) R3 3.	11.13. 0.	11.14. 2πk/R.

11.15. Для задачі найбільш природними є сферичні координати r,

θ та ϕ. На															поверхні сфери																				радіуса a												dS = a2 sin θd θd ϕer ,
A =			e	er ,						A dS = e sin θd θdϕ . Потоком вектора A через задану
A =		a2		er ,						A dS = e sin θd θdϕ . Потоком вектора A через задану
		a2
частину сфери буде ∫∫ A dS = 2πe .
																					S																															n
																																																				n
11.16. а) 4πе; б) 0.																						11.17. 4πR3φ(R).																							11.18. 4π∑ei .
11.20. 4πR4.																						11.21. 2πa3.																													i=1
11.20. 4πR4.																						11.21. 2πa3.																						11.23.							2πarctg (H R) .
11.24. In								=					2πa								a − c					2−n −							c + a				2−n						, n ≠ 2. I2 =									2πa ln		a + c	.



										(n − 2 )c																																											c	a −c
11.25. xc = 0 , yc = 2R 3π.
11.26. I							= I			2		= πR4ρ(4 −3cosα−cos3 α) , I																												3		= 2πR4ρ(2 −3cosα+cos3 α) .
			1							2							3																							3						3
																	3	1																												3
11.27. а)								I	1	= I				2		=		1	3	ml 2					, I		3		= 0 (z – вісь симетрії);
									1		1			2					3								3
б) I	1		= I		2				=		1		12			ml 2 ,					I	3		= 0 (z – вісь симетрії);
	1				2								12									3														83
в) I			= I	2				= I			3		=		2		5	mR2 ; г) I											= I			2		=		83		320				mR2 , I						3			= 2	5	mR2 ;
1				2							3						5								1							2						320										3				5
д) I1 = I2 = m(															14 R2 + 112 h2 ), I33 = 1 2 mR2 ;
є) I = m							12			(b2					+c			2 ), I					2		= m			12			(c2 +a2 ), I												3	= m			12			(a2 +b2 );
1							12																2					12															3				12
ж) I			= I			2			= 3m									R2 + 1 h2												,			I	3	= 3						mR2 ;
	1					2									20										4									3					10
з) I = 1															20										4														10
з) I = 1						5			m(b2							+ c2 ), I								2	= 1				5	m(c2 + a2 ),														I	3	=	1		5		m(a2 + b2 ).
1						5																		2					5																3				5

128

Список літератури

[1]Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. – М.:

Наука, 1969. – 352 с.

[2]Алексеев А. И. Сборник задач по классической электродина-

мике. – М.: Наука, 1977. – 320 с.

[3]Анчиков А. М. Основы векторного и тензорного анализа. –

Изд-во Казанского университета, 1988. – 134 с.

[4]Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродина-

мике. – М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. – 640 с.

[5]Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – М: Высшая шк., 1966. – 252 с.

[6]Гречко Л. Г., Сугаков В. И., Томасевич О. Ф., Федорченко А. М.

Сборник задач по теоретической физике. – К.: Высшая шк., 1984. – 336 с.

[7]Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учеб. пособие. – М.: Наука, 1990. – 624 с.

[8]Коренев Г. В. Тензорное исчисление. – М.: Изд-во МФТИ, 2000. – 240 c.

[9]Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного ана-

лиза. – М.: Наука, 1965. – 426 с.

[10]Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. – М.: Наука, 1978. – 160 с.

[11]Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Калайда А. Ф. Матема-

тический анализ, II. – К.: Вища шк., 1985. – 551 с.

[12]Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. – М.: Гос. изд-во физ.-

мат.лит., 1963. – 408 с.

[13]Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: учеб. пособие.

–М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 264 с.

[14]Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. –

М.: Наука, 1967. – 664 с.

[15]Сеньків М. Т. Векторний і тензорний аналіз: текст лекцій. –

Л.: РВВ Львів. ун-ту, 1991. – 146 с.

[16]Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. – М: Наука, 1965. – 456 с.

[17]Топтыгин И. Н. Современная электродинамика. Ч. 1. Микроскопическая теория: учеб. пособие. – М.; Ижевск: Ин-т компьютер-

ных исследований, 2002. – 736 с.

[18]Федорченко А. М. Теоретична фізика, I. – К: Вища шк., 1992.

–500 с.

129

ЗМІСТ

Передмова..................................................................................................................	3
Розділ 1. Векторна алгебра.................................................................................	6
1.1. Задачі на добутки векторів...............................................................................	8
1.2. Задачі на доведення векторних тотожностей .........................................	12
1.3. Задачі на геометричні співвідношення.......................................................	13
1.4. Задачі з аналітичної геометрії.......................................................................	15
1.5. Векторні рівняння..............................................................................................	18

Розділ 2. Ортогональні перетворення декартової системи координат.

Матриця переходу...............................................................................	19
Розділ 3. Перетворення векторів і тензорів
при заміні базису................................................................................	25
Розділ 4. Алгебраїчні операції над тензорами........................................	30
Розділ 5. Головні осі тензора. Інваріанти тензора...............................	41
Розділ 6. Тензор Леві–Чівіта.............................................................................	47
Розділ 7. Векторні функції скалярного аргументу................................	52
Розділ 8. Диференціальні операції над скалярними
та векторними функціями.............................................................	55
8.1. Задачі на доведення символічним методом.................................................	58
8.2. Задачі на обчислення.......................................................................................	59
Розділ 9. Векторний аналіз
у криволінійних координатах......................................................	63
9.1. Криволінійні ортогональні координати......................................................	63
9.2. Диференціальні операції у криволінійних координатах.......................	71
Розділ 10. Інтегральні теореми.......................................................................	78
Розділ 11. Обчислення криволінійних і поверхневих інтегралів......	84
11.1. Криволінійні інтеграли...................................................................................	84
11.2. Поверхневі інтеграли.....................................................................................	86
Відповіді та вказівки.............................................................................................	92
Список літератури................................................................................................	129
130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.09.2019276.26 Кб3otvety_na_ekzamen_s_adminki (1).docx
#
17.12.20182.31 Mб4Otvety_na_voprosy_k_ekzamenu_po_teoreticheskim.doc
#
09.11.2019744.96 Кб5overview_american.doc
#
09.11.20191.26 Mб14overview_British.doc
#
19.03.20151.67 Mб46ovta-posibnyk.pdf
#
07.03.20161.46 Mб28ovta-zbirnyk-zadach.pdf
#
19.03.20152.57 Mб1623O_M_Pazyak_O_A_Serbenska_M_I_Furduy_L_Yu.doc
#
15.11.2019261.12 Кб1Palestina-95 Later edited.doc
#
11.09.2019112.64 Кб6paronimi.doc
#
28.07.201926.2 Кб2Part 1.docx
#
07.03.20162.26 Mб37patology.pdf