ovta-zbirnyk-zadach

1.2. Задачі на доведення векторних тотожностей

У задачах 1.36–1.49 довести векторні тотожності:

1.36. (a b )2 +(a ×b )2 = a2b2 .

1.38. (a ×b)×(c ×d) = b(a,c,d) −a(b,c,d) = c(a,b,d) −d(a,b,c).

Наслідок: якщо (a,b,c) ≠ 0 , то

1.39.(a ×b) ×(a ×c) = a(a,b,c).

1.40.Тотожність Якобі a ×(b ×c) +b ×(c ×a) +c ×(a ×b) = 0.

1.41.(a ×b, b ×c, c ×a) = (a,b,c)2 .

1.43.a ×(b ×(c ×d )) = (a,c, d )b −(a b)(c ×d ).

1.44.(a ×b, c ×d , e × f ) = (a,b,e)( f ,c,d ) −(a,b, f )(e,c,d ) .

1.47.(a b) (c d ) + (b c) (a d ) + (c a) (b d ) = 0.

1.48.(a,b,c)2 + ((a b) c )2 = (a b)2 c2 .

узадачі 1.38.

1.51.Використовуючи векторні тотожності, розв'язати від-

носно невідомого вектора x систему рівнянь

x a = α,

x b = β,x c = γ.

1.3.Задачі на геометричні співвідношення

1.52.Довести, що проекція суми векторів на будь-яку вісь дорівнює сумі проекцій доданків на ту саму вісь.

1.53.Яку умову мають задовольняти три вектори a, b, c,

щоб із них можна було побудувати трикутник?

1.54.Довести, що можна побудувати трикутник, сторони якого однакові за довжиною та паралельні медіанам трикутника АВС.

1.55.Нехай A', B', C' – середини сторін трикутника, протилежних до його вершин A, B, C, відповідно, O – довільна точка.

Довести рівність OA′ + OB′ + OC′ = OA + OB + OC.

13

1.56. Довести теорему косинусів плоскої тригонометрії c2 = a2 +b2 − 2abcos γ,

де a, b, c – довжини сторін трикутника, γ – внутрішній кут трикутника, протилежний до сторони із довжиною с.

1.57. Довести теорему синусів плоскої тригонометрії

sin α = sin β = sin γ, a b c

де α, β, γ – внутрішні кути трикутника, протилежні до сторін із довжинами а, b, c, відповідно.

1.58.Вивести формули для sin(α ±β) і cos(α ±β) , використовуючи властивості добутків векторів.

1.59.Довести формулу розкладання вектора a на повздовжню та поперечну складові відносно напрямку, заданого одинич-

ним вектором n: a = n(a n) + n ×(a ×n) або a = a + a , де a = n(a n), a = n ×(a ×n).

1.60. Знайти вектор, який є результатом віддзеркалення вектора a у площині, перпендикулярній одиничному вектору n.

1.61.Знайти кут між радіус-векторами r і r′, напрямки яких задано сферичними кутами (θ,ϕ) і (θ′,ϕ′), відповідно.

1.62.Довести теорему косинусів сферичної тригонометрії

1.63. Довести теорему синусів сферичної тригонометрії

спільним початком; A= ((a,b),(a,c)), B= ((b,a),(b,c)), C= ((c,a),(c,b))

ром c і площиною (ab).

14

1.65.У тетраедрі задано довжини ребер a, b, c зі спільним початком і плоскі кути α = (b,c ), β = (c, a), γ = (a,b ). Знайти об'єм тетраедра.

1.66.Задано a, b, c – вектори ребер тетраедра DABC зі спі-

льним початком при вершині D. Знайти радіус-вектор висоти тетраедра, проведеної з вершини D.

1.67. Задано вектори a, b, c однакової довжини. Знайти вектор n, що утворює із векторами a, b і c однакові кути.

1.4. Задачі з аналітичної геометрії

1.68. Криву задано рівнянням r (r − 2a) = 0, де r – радіус-

вектор точки на площині. Яка властивість кривої випливає безпосередньо із цього рівняння?

1.69.Записати рівняння площини, що проходить через точку із радіус-вектором r1 перпендикулярно до заданого вектора n.

1.70.Записати рівняння площини, що проходить через дві точки із радіус-векторами r1 і r2 паралельно до заданого вектора a.

1.71.Записати рівняння площини, що проходить через точку із радіус-вектором r1 паралельно до заданих векторів a та b.

1.72.Записати рівняння площини, що проходить через задані точкиізрадіус-векторами r1, r2 і r3 , щоненалежать однійпрямій.

1.73.Записати рівняння площини, що перпендикулярна одиничному вектору n і проходить на відстані d від початку координат.

1.74.Записати рівняння площини, що проходить через точ-

ку r1 паралельно заданій площині r n = α.

1.75. Записати рівняння площини, що проходить через дві точки r1 і r2 перпендикулярно до заданої площини r n = α.

1.76.Записати рівняння площини, що проходить через точку r1 перпендикулярно двом заданим площинам r n1 = α1 та r n2 = α2.

1.77.Записати рівняння площини, яка проходить через середину відрізка, що з'єднує дві точки r1 та r2 і перпендикулярна

до цього відрізка.

15

1.78. Записати рівняння площини, що проходить через задану точку r1 і задану пряму r ×a = A .

1.79. Записати рівняння площини, що проходить через задану точку r1 паралельно двом заданим прямим r ×a1 = A1 та r ×a2 = A2 .

1.80.Записати рівняння площини, що проходить через задану пряму r ×a1 = A1 паралельно іншій прямій r ×a2 = A2.

1.81.Записати рівняння площини, що проходить через задану пряму r ×a = A перпендикулярно до площини r n = α.

1.82.Точка r (t) рухається зі сталою швидкістю v. У почат-

ковий момент часу вона перебувала у точці r0 . В який момент часу t вона зустріне площину r N = α?

1.83.Записати рівняння сфери радіуса R із центром у початку координат і рівняння площини, що дотикається до заданої сфери

уточці r1.

1.84.Знайтивідстань від заданої точки r1 доплощини r N = α.

точок задовольняють рівність ((r4 −r1),(r3 −r1),(r2 −r1)) = 0, то ці

точки належать одній площині.

1.87. Установити умову, за якої три площини r a = α, r b = β і r c = γ паралельні одній прямій.

1.88.Задано площину r N = α та точку r1 . Знайти: а) радіусвектор проекції точки r1 на площину r N = α ; б) радіус-вектор точки, симетричної до точки r1 відносно даної площини.

1.89.Записати рівняння прямої, що проходить через точку із радіус-вектором r1 паралельно до заданого вектора a .

1.90.Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки із радіус-векторами r1 та r2 .

1.91.Записати рівняння прямої, що проходить через точку r1

перпендикулярно до заданих векторів a та b.

1.92.Знайти лінію перетину двох площин r a = α і r b = β.

1.93.Записати умову, за якої три точки, що задані радіусвекторами r1 , r2 , r3 , належать одній прямій. Довести, що ця

умова еквівалентна умові r1 ×r2 + r2 ×r3 + r3 ×r1 = 0.

16

1.94.Знайти кут між прямою r ×a = A та площиною r N = α.

1.95.Записати рівняння прямої, що проходить через початок

координат і перетинає пряму, що задано рівнянням (r − r1) ×a = 0,

під прямим кутом.

1.96. Записати рівняння прямої, що проходить через точку із радіус-вектором r1 і перетинає пряму, яку задано рівнянням

r ×a = A, під прямим кутом.

1.97.Знайти довжину перпендикуляра, опущеного із початку координат на пряму (r − r1) ×a = 0.

1.98.Знайти довжину перпендикуляра, опущеного із даної точки r1 на пряму r ×a = A .

a = α із прямою

r ×b = B, якщо b B = 0 та a b ≠ 0.

1.100. Знайти найкоротшу відстань між двома непаралельними прямими, заданими рівняннями r ×a = A та r×b=B, якщо a A = 0,

b B = 0, a ×b ≠ 0. Знайти умову перетину цих прямих.

1.101. Записати рівняння спільного перпендикуляра до двох прямих r ×a1 = A1 та r ×a2 = A2 .

1.102. Записати рівняння проекції прямої r = r1 + aτ на площи-

ну r n = d.

1.103. Встановити умову, за якої дві прямі r ×a1 = A1 та r ×a2 = A2 перетинаються або належать одній площині.

1.104. Задано пряму r = r1 + aτ і точку r0 . Знайти: а) радіусвектор проекції точки r0 на пряму r = r1 + aτ; б) радіус-вектор точки, симетричної до точки r0 відносно даної прямої.

1.105. Показати: якщо середини сторін довільного чотирикутника з'єднати прямими лініями, то утворена фігура буде паралелограмом.

1.106. Довести: якщо діагоналі чотирикутника ділять одна одну

навпіл, то чотирикутник є паралелограмом.

1.107. Довести: необхідною й достатньою умовою належності трьохточок A(a), B(b) і C(r) одній прямій r = αa +βb є α +β = 1.

1.108. Довести, що необхідною та достатньою умовою належності чотирьох точок A(a), B(b), C(c) і D(r ) одній площині r = αa +βb + γc є α +β+ γ = 1 .

17

1.109*. Задано радіус-вектори вершин трикутника A(r1), B(r2 ) і C(r3 ). Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Знайти радіус-вектор цієї r точки.

відповідно. Довести, що бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. Знайти радіус-вектор r цієї точки.

1.111*. Задано радіус-вектори вершин трикутника A(r1), B(r2 ) і C(r3 ) . Довести, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Знайти радіус-вектор r цієї точки.

1.5. Векторні рівняння

У задачах 1.112–1.113 розв'язати рівняння відносно невідомого вектора x

1.112. αx +β(a × x) = b. 1.113. a +b × x= x.

1.114. Розв'язати систему рівнянь відносно вектора x

x a = p,

x ×b = q.

Установити геометричний зміст розв'язку.

У задачах 1.115–1.116 розв'язати систему рівнянь відносно невідомих х, у та z

1.115. xa + yb + zc = d.

1.116. x(b ×c) + y(c ×a) + z(a ×b) = d.

коефіцієнти розкладання α, β та γ.

18

Розділ 2 Ортогональні перетворення декартової

системи координат. Матриця переходу

Користуючись координатним підходом, доцільно вибирати таку систему координат, де геометричні об'єкти3 мають найпростішу структуру. У цій системі координат розв'язок задачі можна максимально спростити. Тому потрібно вміти за компонентами геометричних об'єктів в одній системі координат знаходити їх компоненти в іншій системі координат. Найпростіший тип перетворень – ортогональні, які переводять один ортонормований базис в інший, також ортонормований, зберігаючи при цьому довжини векторів і кути між ними. Зміна початку відліку ПДСК не впливає на координати векторів, крім радіус-вектора.

3Об'єкт – це досліджувана величина, що задається сукупністю елементів (компонент). Геометричний – розглядається з погляду набору геометричних властивостей. Говоритимемо, що у просторі задано геометричний об'єкт, якщо кожному базису однозначно відповідає впорядкована система чисел (компонент) і задано закон перетворення компонент геометричного об'єкта для переходу до іншого базису.

4Як і раніше, індекси змінюються від 1 до 3; за повторюваними індексами здійснюється підсумовування.

19

зручно проводити, подаючи її у вигляді "таблиці Піфагора"

де номер вектора (або координатної осі) штрихованого базису визначає номер рядка матриці переходу, а номер вектора (або осі) нештрихованого базису – номер стовпчика. Елементи матриці знаходимо, наприклад, за (2.2).

Із умов ортонормованості обох базисів ei ej = ei′ e′j = δij випливає

де Е – одинична матриця, АТ – матриця, транспонована до А. Перетворення, обернене до (2.1), має вигляд

Закони перетворення (2.1) і (2.4) базисних векторів за ортогональних перетворень систем координат зручно подати у матри-

де e та e′ – стовпчики, складені із трьох векторів ei та ei′, від-

повідно.

Співвідношення (2.3) для матриці переходу у компонентному представленні мають вигляд:

Звідси випливають такі властивості рядків і стовпчиків матриці переходу:

1)сума квадратів елементів кожного рядка (стовпчика) матриці переходу дорівнює одиниці;

2)різні рядки (стовпчики) матриці переходу – ортогональні між собою.

Ці властивості дозволяють перевірити правильність побудови матриці переходу або знайти її елементи за мінімальним числом заданих. Матриця переходу однозначно визначається трьома незалежними матричними елементами (або еквівалентними до них трьома незалежними параметрами) та одним знаком (знаком

20