ovta-zbirnyk-zadach

Розділ 5 Головні осі тензора. Інваріанти тензора

Компоненти тензора залежать від вибору системи координат. Але із компонент тензора можна скласти й комбінації, незалежні від вибору системи координат. Вони називаються інваріантами тензора й часто мають важливий фізичний зміст. Наприклад, деформацію пружного середовища характеризує тензор деформацій ukl . Його перший інваріант

дорівнює відносній зміні об'єму внаслідок деформації.

Велике практичне значення має також питання про вибір такої системи координат, в якій деякий тензор має найпростішу структуру. Розглянемо вибір такої системи для тензора другого рангу.

Спектральна задача для тензора t = {tij} другого рангу полягає

у розв'язанні векторного рівняння

ta = λa (at = λa) (5.1)

відносно невідомих вектора a (причому a ≠ 0) та числа λ. Вектор a називається правим (лівим) тензора t, λ

– власним значенням тензора t, що відповідає власному вектору a. Різними власними векторами вважаються лінійно незалежні власні вектори. Для несиметричного тензора власні вектори та власні значення не обов'язково є дійсними. Напрямок, що визначається вектором a (якщо a дійсний), називається головним

напрямком тензора. Векторне рівняння (5.1) еквівалентне однорідній системі алгебраїчних рівнянь

відносно компонент власного вектора a тензора t.

Зауважимо, що оскільки a та λa є векторами, то власне зна-

чення λ є скалярною величиною або інваріантом. Скалярно домноживши (5.1) для правого власного вектора на a ліворуч (або

на a* , якщо a – комплексний), дістанемо вираз для λ через відповідний власний вектор

41

λ = aataa ,

значення якого не залежить від вибору системи координат. Отже, і власні значення λі, і відповідні власні вектори ai є інварі-

антними характеристиками тензора другого рангу. Якщо власний вектор відомий, то відповідне власне значення завжди можна знайти, обчисливши ліву частину (5.1) чи (5.2).

Із умови існування нетривіального розв'язку системи (5.2) ви-

для пошуку власних значень λ, що є спільними для лівих і правих власних векторів тензора t. Очевидно, для тривимірного тензора t другого рангу характеристичне рівняння (5.3) є алгебраїч-

Кількість власних значень λ дорівнює числу коренів характеристичного рівняння (5.4.). Вона збігається із розмірністю простору та дорівнює трьом. Якщо всі власні значення різні λ1 ≠ λ2 ≠ λ3, число лінійно незалежних власних векторів також дорівнює трьом. Для несиметричного тензора, якщо два або більше власних значень однакові, кількість власних векторів може бути менше трьох.

Розкривши визначник і враховуючи, що головні значення тензора будуть інваріантами лише за умови, що інваріантами будуть коефіцієнти алгебраїчного рівняння третього степеня, характеристичне рівняння (5.4) перепишемо у вигляді λ3 −I1λ2 +I2λ−I3 = 0,

де коефіцієнти

відповідно, називаються першим, другим і третім інваріантами тензора t.

42

Перший інваріант дорівнює сумі діагональних елементів матриці, яка є зображенням тензора у вибраній системі координат. Суму діагональних елементів довільної квадратної матриці називають слідом матриці та використовують спеціальні позначення: Spt або Trt. Другий інваріант тензора дорівнює сумі головних мінорів відповідної матриці, а третій – визначнику (det t або | t |).

Інваріанти тензора t другого рангу виражають через власні значення λ1, λ2, λ3 як I1 = λ1 +λ2 +λ3, I2 = λ1λ2 +λ2λ3 +λ3λ1,

I3 = λ1λ2λ3. Ці вирази випливають із теореми Вієта про зв'язок

коефіцієнтів кубічного рівняння з його коренями.

Власні вектори ai тензора t можна знайти за допомогою по-

слідовної підстановки власних значень λі (і = 1, 2, 3) до системи (5.2). Оскільки вона є однорідною, то її розв'язок визначено із точністю до множника. Тобто, якщо a – розв'язок (5.1), то Ca – також розв'язок, де С – довільне число. Отже, власні вектори знаходять із точністю до числових множників, які можна визначити з умови нормування, що вибирається із міркувань зручності (напр.,

Власні значення симетричного тензора t другого рангу є дійсни-

ми, і власні вектори завжди можна вибрати дійсними. Якщо всі власні значення різні λ1 ≠ λ2 ≠ λ3, то відповідні їм власні вектори взаємно ортогональні, а у випадку власних значень, що збігаються, власні вектори завжди можна вибрати ортогональними. Одиничні власні вектори такого тензора задають ортонормований базис μ1, μ2 , μ3 і головні напрямки тензора. Важливою

особливістю головних напрямків є те, що тензор t набуває діагональної форми

якщо осі координат сумістити із головними напрямками, причому на головній діагоналі стоять власні значення в порядку нуме-

43

рації осей. Прямокутна декартова система координат із базисом

μ1 , μ2 , μ3 називається головною системою координат тензора t.

У випадку двох однакових власних значень λ2 = λ3 ≠ λ1 однозначно визначається лише власний вектор μ1. Будь-який вектор

із площини, перпендикулярної до μ1, також буде власним. У

цій площині завжди можна вибрати (причому, неоднозначно) пару ортогональних векторів так, щоб вони разом з μ1 утворю-

вали праву трійку векторів. Для тензорів, кратних одиничному, будь-який вектор буде власним.

до головних осей.

5.3.Довести, що власні значення симетричного тензора другого рангу – дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням, – ортогональні.

5.4.Провести загальний аналіз властивостей власних векторів

івласних значень антисиметричного тензора другого рангу.

5.5.Знайти власні значення та вектори та інваріанти тензорів:

5.7. Знайти власні значення та власні вектори матриць Паулі:

5.8. Нехай σ = (σ1,σ2 ,σ3 ) – вектор із матричними компонен-

тами (σі – матриці Паулі, див. задачу 5.7), n – одиничний вектор, що задається кутами θ і ϕ у сферичній системі координат. Знай-

дом до головної системи координат діагоналізувати тензор інерції. Як вплине на вигляд тензора інерції зміна орієнтації головних осей?

5.11. Довести, що другий інваріант тензора t другого рангу можна подати у вигляді I2 = 12 ((tii )2 −tij t ji ).

5.12. Довести, якщо λ1, λ2, λ3 – власні значення симетричного

Розділ 6 Тензор Леві–Чівіта

Існує клас геометричних об'єктів, споріднених скалярам, векторам і тензорам, які за одних умов не відрізняються від векторів і тензорів, за інших – дещо відрізняються. Вони називаються, відповідно, псевдоскалярами, псевдовекторами і псевдотензорами. Уживають також назву "відносні тензори".

У практичній роботі фізики користуються винятково правими ортогональними системами координат, оскільки для розв'язування багатьох задач цілком достатньо тільки таких систем. Кожному ортогональному перетворенню, що праву систему координат переводить у праву, відповідає просторовий поворот. У цьому найбільш поширеному на практиці випадку жодної різниці між "справжніми" та "відносними" тензорними величинами немає. І ті, й інші перетворюються за (3.1)–(3.5). Тому їх і не розрізняють, називаючи, наприклад і радіус-вектор, і імпульс, і момент імпульсу просто векторами.

Проте довільне ортогональне перетворення передбачає також можливість заміни правої системи координат на ліву. Відмінність псевдотензорів від звичайних тензорів виявляється саме у випадку, коли права система координат перетворюється на ліву, або ліва – на праву.

Означення. Псевдоскаляри, псевдовектори та псевдотензори – це

геометричні об'єкти, компоненти яких за ортогонального пере-

творення базису (2.1) перетворюються за правилами

ϕ′ = ϕΔ , ai′ = αija j , tij′ = αik αjltkl .

Тут – визначник матриці ортогонального перетворення = 1 для поворотів і = –1 – для інверсії і всіх інших перетворень, які праву систему координат переводять у ліву (або ліву – у праву).

Отже, псевдоскаляр не може мати певний знак. Останній залежить від того, щодо якої системи координат ця величина обчислюється. Аналогічно для псевдовектора: його напрямок зміниться на протилежний, якщо користуватися замість правої системи координат лівою. Проте причиною цього є не тип системи координат, а сама природа цих величин.

47

У випадку означення псевдовеличин в інваріантній формі особливі властивості пов'язані з тим, що їх знак фактично визначається за домовленістю. Наприклад, напрямок векторного

добутку a ×b за означенням є таким, що вектори a, b та a ×b

утворюють праву трійку векторів. Виявляється, що саме називати правим, а що лівим – є предметом нашої домовленості, і насправді не має принципового значення9.

Очевидно, що добуток псевдотензора на псевдотензор є тензором, а множення тензора на псевдоскаляр перетворює його на псевдотензор.

Щодо векторів інколи вживають інші терміни: псевдовектор

– аксіальний вектор, звичайний вектор – полярний вектор. Означення. Символ Леві–Чівіта у тривимірному випадку вво-

дять як мішаний добуток ортів правої прямокутної декартової системи координат εijk = (ei ,ej ,ek ), тобто

+1, якщоi, j, k складаютьциклічнуперестановкуз 1,2,3; εijk = −1, якщоi, j, k складаютьантициклічнуперестановкуз 1,2,3;

0, якщосередi, j, k єоднакові числа.

Значення символів Леві–Чівіта утворюють повністю антисиметричний псевдотензор третього рангу. Він має шість відмінних

від нуля компонент ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε132 = ε321 = ε213 = −1.

Його властивості безпосередньо випливають із означення (див. задачу 6.1). Довільний антисиметричний тензор t другого рангу можна подати у вигляді згортки псевдотензора Леві–Чівіта з аксіальним вектором ω: tij = −εijk ωk . Інше стандартне застосуван-

ня символів Леві–Чівіта – в обчисленнях, пов'язаних із визначниками (див. задачу 6.15).

Зручність використання символів Леві–Чівіта у задачах по- в'язана із низкою тотожностей, які він задовольняє. Для випадку тривимірного евклідового простору ці тотожності подано у задачі 6.11, де для їх доведення необхідно явно розкрити визначник та обчислити згортки.

9Насправді важливим є збіг чи відмінність "лівого" та "правого" для даного об'єкта. Саме в цьому питанні справжні та псевдовеличини поводяться по-різному, і це має важливі фізичні наслідки. Приклад: права та ліва поляризація світла, спіральність – у квантовій механіці.

48

За допомогою символів Леві–Чівіта векторний a ×b і міша-

ний (a,b,c) добутки, які відповідно є псевдовектором і псевдоскаляром, можна записати як

a ×b = εijk aibjek , (a,b,c ) = εijk aibjck .

Приклад використання подано у задачі 6.12.

6.1.Довести, виходячи із означення: а) об'єкт εijk змінює знак

урезультаті перестановки довільних двох індексів; б) об'єкт εijk

не змінюється в результаті циклічної перестановки індексів.

6.2. Для базисних векторів ei (i = 1, 2,3) обчислити: а) ei ×e j ;

б) (ei ,ej ,ek ) .

6.3.Довести: a ×b = εijk aibjek .

6.4.Показати, що мішаний добуток трьох полярних векторів є псевдоскаляром, подвійний векторний добуток трьох полярних векторів також є полярним вектором.

6.5.Дано: А, В – антисиметричні тензори другого рангу, яким

відповідають аксіальні вектори a та b, відповідно. Довести, що тензор С із компонентами Cij = Aik Bkj − Ajk Bki є антисиметрич-

ним. Який аксіальний вектор йому відповідає?

6.6. Тензор a b розкласти на симетричну та антисиметричну частини. Знайти аксіальний вектор ω, що відповідає антисиметричній частині цього тензора.

6.7. Довести: atb −bta = 2ω (b ×a), де ω – вектор, що від-

повідає антисиметричній частині тензора t, a та b – довільні вектори.

6.8. Довести, що аксіальний вектор ω, що відповідає антисиметричній частині тензора t = e1 a +e2 b +e3 c (вектори a , b , c – відомі) задовольняє рівності

−2ω= (b3 −c2 )e1 +(c1 −a3)e2 +(a2 −b1)e3 = e1 ×a +e2 ×b +e3 ×c .

6.9. Показати, що для довільного тензора t = a r1 +b r2 +c r3

справедлива рівність −2ω= a ×r1 +b ×r2 + c ×r3 , де ω – вектор,

що відповідає антисиметричній частині тензора t. Довести, що необхідною та достатньою умовою симетричності тензора t є рівність нулю вектора ω.

49

б) εijk εαβk = δiαδjβ −δiβδjα; в) εijk εαjk = 2δiα; г) εijk εijk = 6.

6.11. Знайти закон перетворення у випадку ортогонального перетворення системи координат: а) об'єкта εijk ; б) згортки

[a ×b ]k = εijk aibj .

6.12. Використовуючи результати попередніх задач та означення векторного добутку за допомогою символу Леві–Чівіта, вира-

зити через скалярні добутки векторів: а) a ×(b ×c); б) (a×b)×c;

в) (a×b) (c ×d); г) (a×b)×(c ×d); д) (a×b)×((b ×c)×(c ×a)).

6.13. Показати, що інтеграл V = ∫∫∫dx1dx2dx3 , за допомогою

V

якого визначається об'єм, є скаляром.

6.14. Записати в інваріантній векторній формі:

а) εinlεirsεlmpεstpanarbmct ; б) εinlεkrsεltpεstpar an′bk bi′ct cm′ .

6.15. Визначник матриці A= aij (i, j =1,2,3) можна подати у вигляді A ≡det A= εijka1ia2 ja3k. Довести: а) εαβγ A = εijk aαiaβjaγk ;

б) A = 16 εαβγεijk aαiaβj aγk .

6.16.Використовуючи результати попередньої задачі, довес-

ти, що для двох довільних тривимірних матриць А та В має місце рівність A B = A B .

6.17.Задано матрицю A={aij}, i, j =1,2,3. Позначимо: Aij – ал-