Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ovta-zbirnyk-zadach

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
07.03.2016
Размер:
1.46 Mб
Скачать

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

М.Ф. Ледней, М.А. Разумова, О.В. Романенко, В.М. Хотяїнцев

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ВЕКТОРНОГО

ТА ТЕНЗОРНОГО ЧИСЛЕННЯ

Навчальний посібник

Рекомендовано Міністерством науки і освіти України як навчальний посібник

для студентів фізичних факультетів університетів

УДК 514.74(076) ББК 22.151.51я7

Зб.41

Рецензенти:

д-р фіз.-мат. наук, проф. І. О. Шевчук, д-р фіз.-мат. наук, проф. М. Ф. Городній, д-р фіз.-мат. наук, проф. С. Й. Вільчинський

Затверджено Радою фізичного факультету, протокол №13 від 26 червня 2009 року

Ледней, М. Ф.

Зб.41 Збірник задач з векторного та тензорного числення: навч. посіб. для студентів фізичних факультетів університетів / М.Ф. Ледней, М. А. Разумова, О. В. Романенко, В. М. Хотяїнцев.

– К.: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет, 2010. – 129 с.

ISBN 978-966-439-320-8

Видання спрямовано на практичні потреби фізиків, оволодіння стилем і підходами до роботи з векторами й тензорами, типовими для фізики, зокрема для загальних університетських курсів теоретичної фізики. Збірник містить 360 задач, необхідні теоретичні відомості, розв'язки характерних задач, відповіді та вказівки.

Для студентів, аспірантів, викладачів фізичних та інженерно-фізич- них спеціальностей.

УДК 530(075.8) ББК 22.31я73

Гриф надано Міністерством освіти і науки України

(Лист №1/11-1151 від 23.02.10)

ISBN 978-966-439-320-8

Ледней М.Ф., Разумова М. А.,

 

Романенко О. В., Хотяїнцев В. М., 2010

 

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

 

ВПЦ "Київський університет", 2010

 

2

Передмова

Збірник задач складено викладачами кафедри теоретичної фізики фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Він відображає багаторічний досвід викладання загального курсу "Основи векторного і тензорного аналізу" (ОВТА), що входить до математичного циклу дисциплін для студентів фізичних спеціальностей. Особливістю задачника є те, що його написано фізиками й для фізиків.

Проблема викладання математики для фізиків піднімається провідними фізиками різних країн світу впродовж уже якнайменше 100 років і залишається актуальною й наразі. Із кінця 1980-х років з ініціативи проф. А.М. Федорченка деякі математичні курси на фізичному факультеті університету почали викладати фізи- ки-теоретики. Курс ОВТА був тоді фактично заново створений доцентом В.М. Хотяїнцевим, а пізніше до роботи над ним долучилися й інші співавтори цієї книги.

На нашу думку, основним пріоритетом у математичній підготовці фізиків має бути поєднання математики з фізичним способом мислення. Аби молода людина стала фізиком, у процесі здобуття освіти математичний апарат має інтегруватися у фізичний спосіб мислення й ставати його органічною частиною. Саме так ми і намагаємось будувати курс ОВТА; із цих позицій створено й цей збірник задач, який відображає практичну частину курсу. У цьому зв'язку зазначимо окремі моменти, важливі для викладачів.

Для фізика за вектором і тензором завжди стоїть реальний об'єкт, а тому вектор (тензор) не тотожний набору чисел. Вектор (тензор) – це єдиний об'єкт, що можна задати у різні способи, залежно від контексту, а набір компонент є лише його зображенням у даному базисі, користуватись яким у певній задачі може бути зручно або ні. Тому скрізь, де це можливо, ми намагаємось уникати прямолінійного використання координатного підходу, а натомість демонструємо можливості інших геометричних та аналітичних способів задання та роботи з векторами (тензорами). Це враховується вже на рівні постановок задач – за можливістю їх сформульовано без звернення до конкретної системи координат, як і прийнято у фізиці.

Важливо, що саме такий погляд на вектори має логічне продовження у квантовій механіці, особливістю якої є специфічний

3

спосіб задання стану: стану квантової системи ставиться у відповідність вектор у гільбертовому просторі, що може мати різні зображення у різних базисах, а це відповідає різним представленням у квантовій механіці.

Курс векторного й тензорного числення має не лише суто прикладне значення як підготовка необхідної бази для класичної механіки чи електродинаміки. Саме тут, на прикладі звичайних векторів і найпростіших тензорів другого рангу, уперше заявляють про себе ідея ортогональності, власних векторів та інші фундаментальні ідеї та поняття, які згодом мають розвиток у математичній фізиці, теорії операторів і функціональному аналізі.

У цілому книгу як за самою постановкою задач, так і за методами їх розв'язання спрямовано на практичні потреби фізиків, оволодіння студентами таким стилем і підходами до роботи з векторами й тензорами, які характерні саме для фізики, зокрема, при вивченні загальних університетських курсів теоретичної фізики. Важливою рисою такого стилю є гнучкість. Справжнє мистецтво полягає в тому, щоб, володіючи різноманітними підходами, бачити їх можливості та вибирати в певній задачі найкращий метод, найзручнішу систему координат тощо задля максимального спрощення шляху до розв'язку. Досягти цього допомагають різноманітні ситуації застосування апарату, подані у запропонованих задачах.

Посібник орієнтовано на студентів молодших курсів, які вже знайомі з лінійною алгеброю, основною частиною математичного аналізу, основами векторної алгебри.

Збірник складається із двох частин. У першій (розд. 1–6) подано задачі з алгебраїчних операцій над векторами та тензорами, разом із трансформаційними властивостями векторів і тензорів при заміні базису та задачами на власні значення. У другій частині (розд. 7–11) розглянуто диференціальні операції над векторами, у тому числі в криволінійних ортогональних системах координат, а також пов'язані з ними поверхневі й криволінійні інтеграли та інтегральні теореми.

До збірника не ввійшли задачі на косокутні системи координат, коваріантне диференціювання тензорних полів, простори з кривиною та інші питання, які, власне, є тензорним аналізом. У курсі ОВТА вони викладаються на ознайомчому рівні, практичне

4

ж значення мають для загальної теорії відносності, тому й відпрацьовуються пізніше, у відповідних спеціальних курсах.

Увступних зауваженнях до кожного розділу подано необхідні теоретичні відомості та типові підходи до розв'язування задач. До більшості задач подано відповіді, а за необхідності – і вказівки. Для кількох найбільш характерних задач із кожного розділу наведено повні розв'язки, якими можна користуватись як зразками.

Укожному розділі є задачі різної складності – від елементарних вправ на технічні дії до цілком повноцінних. До певної міри задачник можна використовувати як довідник важливих для практики результатів. Найскладніші задачі або задачі, що виходять за межі розділу, позначено зірочкою – *. Більшість задач згруповано за тематичною близькістю, у певній логічній послідовності з тим, щоб користуватись досвідом чи результатами задач, розв'язаних раніше.

Автори вдячні колегам з кафедри теоретичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка за цінні зауваження та пропозиції, ураховані під час укладання посібника.

5

Розділ 1 Векторна алгебра

Розглядатимемо вектори у тривимірному евклідовому просторі.

Якщо для кожного вектора a

 

задано його абсолютну величи-

ну (модуль або довжину) a =

 

a

 

та напрям, то, за означенням,

 

 

скалярний добуток векторів a

та b

знаходять за формулою

a b = abcos (a,b ), де а, b, (a,b ) –

відповідно довжини век-

торів a та b і кут між їх напрямами.

Якщо скалярний добуток можна обчислити в інший спосіб, то модуль вектора знаходять за формулою

a a = a a .

Необхідною та достатньою умовою ортогональності векторів a та b є рівність нулю їх скалярного добутку a b = 0.

Скалярний добуток векторів має властивості симетричності

та лінійності:

2. (a1 + a2 ) b = a1 b + a2 b;

1.

a b = b a;

3.

a) b = α(a b ) = a b ), α R;

4.

a a .0.

 

Скалярний добуток виражають через модулі векторів a ± b за формулою

a b = 1

 

 

2

a b

2

 

4

a + b

 

 

.

 

 

 

 

 

 

У прямокутній декартовій системі координат (ПДСК), яка задається початком відліку та ортонормованим базисом ei

( i = 1, 2,3 ), вектор a можна однозначно задати набором компонент

a1,a2 ,a3 (пишуть a = (a1,a2,a3) або a(a1,a2,a3) ), що є коефіцієнтами лінійного розкладання вектора a відносно базису ПДСК1:

3

a = aiei aiei .

i=1

1Починаючи із цього розділу використовується угода Ейнштейна відносно сум: за індексами, які повторюються, відбувається підсумовування в межах їх зміни від 1 до 3, знак суми при цьому не пишеться. Такі індекси називаються німими.

6

І навпаки, компоненти аі вектора a у ПДСК однозначно визначаються самим вектором і базисом ei. 2

ai = a ei = a cos (a,ei ) .

Зауваження. У випадку прямокутної декартової системи координат існує кілька способів позначення векторів базису. Вибір позначень мотивується зручністю використання у конкретній

задачі {i , j, k} {ex ,ey ,ez } {e1,e2 ,e3}.

Скалярний добуток векторів a = (a1, a2 , a3 ) і b = (b1,b2 ,b3 ), заданих у ПДСК своїми компонентами, має вигляд a b = aibi .

Означення. Векторним добутком векторів a, b називається вектор a ×b, що задовольняє умови: a ×b = absin (a,b), де а, b,

(a,b ) – відповідно довжини векторів a та b і кут між ними; вектор a ×b ортогональний до площини векторів-множників; трійка векторів a, b, a ×b є правою.

Необхідною та достатньою умовою колінеарності відмінних

від нуля векторів a та b

є рівність нулю їх векторного добутку

a ×b = 0.

 

Якщо вектори a та b

неколінеарні, то їх векторний добуток

a ×b за модулем дорівнює площі паралелограма, побудованого

на цих векторах.

Векторний добуток має властивості антисиметричності та лінійності:

1.

a ×b = b ×a; 2. (a1 +a2 ) ×b = a1 ×b +a2 ×b;

3.

a ×b) = α(a ×b) = (a ×αb), α R.

Для подвійного векторного добутку мають місце тотожності a ×(b ×c)= b(a c) c(a b) , (a ×b) ×c = b(a c) a(b c).

Векторний добуток векторів a = (a1, a2 , a3 ) і b = (b1,b2 ,b3 ) у ПДСК обчислюють як

2Тут і далі в усіх виразах так звані "вільні індекси" (у даному випадку індекс i) пробігають значення 1,2,3.

7

 

e1

e2

e3

, де e1 , e2 , e3

– орти ПДСК,

a ×b =

a

a

2

a

3

 

1

 

 

 

 

 

b1

b2

b3

 

 

або в компонентах [a ×b ]i

= a jbk akbj ,

де індекси i, j, k скла-

дають циклічний порядок.

 

 

Означення. Мішаним добутком векторів a, b, c називається чи-

сло (a,b,c) = a (b ×c).

Необхідною та достатньою умовою компланарності трійки векторів a, b і c є рівність нулю їх мішаного добутку (a,b,c) = 0 .

Якщо трійка векторів a, b і c некомпланарна, то мішаний добуток (a,b,c) за модулем дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на цій трійці векторів. Мішаний добуток (a,b,c) –

додатний, якщо трійка векторів a,

b,

c є правою, і від'ємний –

якщо вона є лівою.

 

 

a (b ×c) = (a ×b) c, не

Мішаний

добуток

має властивість

змінюється

після

циклічної

перестановки множників

(a,b,c) = (b,c, a) = (c, a,b) і змінює свій знак після перестановки будь-яких двох множників (антициклічної перестановки)

(a,b,c) = (b, a,c ) = (c,b, a) = (a,c,b ).

Якщо вектори a, b, c задані своїми координатами у ПДСК,

то їх мішаний добуток обчислюють за формулою a1 a2 a3

(a,b,c) = b1 b2 b3 . c1 c2 c3

1.1.Задачі на добутки векторів

1.1.Використовуючи означення скалярного та векторного добутків, довести співвідношення для ортів прямокутної декартової системи координат

i j = j k = k i = 0, i i = j j = k k =1, i × j = k, j ×k = i , k ×i = j.

8

1.2. Використовуючи властивості ортів ПДСК та алгебраїчні властивості векторного добутку, довести

 

i

j

k

 

a ×b =

ax

ay

az

,

 

bx

by

bz

 

де a = ax i + ay j + az k і b = bx i +by j +bz k .

1.3. Використовуючи властивості ортів ПДСК та алгебраїчні властивості векторного добутку, довести властивості мішаного до-

бутку: a)(a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b); б)(a,b,c) = (a ×b) c = a (b ×c).

1.4. Знайти проекції [a ×b ]y , [d × f ]z на осі декартової сис-

теми координат.

1.5. Вектори циклічного базису визначають як e± = e1 ±ie2 , e0 = e3. Знайти скалярні та векторні добутки векторів e± та e0 .

1.6. Обчислити добутки ортів ПДСК:

a) (ex ×ey ) ×(ez ×ey );

б) ((ez ×ex ) ×ex ) ×((ey ×ez ) ×ey ).

 

1.7. Використовуючи властивості ортів

ПДСК, обчислити:

a) a ×(b ×c); б) (a ×b ) ×c.

 

1.8. Довести, що вектор x = b (a c ) a(b c ) перпендикулярний до вектора c.

1.9. За якої умови рівність a ×(b ×c ) = (a ×b ) ×c буде правильною?

1.10. Перетворити вектор (a +b ) ×(a b ) та встановити його

геометричний зміст за умови, що вектори a і b неколінеарні. 1.11. Обчислити площу паралелограма, сторонами якого є век-

тори a = i 2 j + 4k і b = 3i + j 2k .

1.12. У площині yOz знайти вектор, що перпендикулярний до вектора a = 2i 4 j +3k і має довжину, рівну 10.

1.13. Довести тотожності: a) (a + b )2 + (a b )2 = 2(a2 + b2 );

б) (a + b )2 (a b )2 = 4a b; в) (a + b ) (a b ) = a2 b2 .

1.14. Знайти кут між векторами a і b, якщо вектор a +3b перпендикулярний до вектора 7a 5b , а вектор a 4b перпендикулярний до вектора 7a 2b.

9

1.15. Дано вектори a = (1,1,1) , b = (0,1,1) , c = (0,0,1) . Знайти кут між вектором a та нормаллю до площини (b c).

1.16. Дано вектори a, b, c і кути між ними α = (b,c) ,

β= (a,c), γ = (a,b ). Знайти кут між площинами (ab) і (b c).

1.17.Вершини трикутника АВС задано радіус-векторами A(r1),

B(r2 ), C(r3 ). Знайти вектор S площі трикутника АВС, якщо на-

прямок обходу трикутника задано від А до В і від В до С.

1.18. Нехай у тетраедрі з площами граней s1, s2, s3, s4 проведено чотири вектори S1, S2 , S3 , S4 у напрямку зовнішніх нормалей до граней. Довжини векторів відповідно дорівнюють площам граней Si = si . Показати, що S1 + S2 + S3 + S4 = 0.

1.19. Дано відмінні від нуля вектори:

a = b ×c, b = c ×a,

c = a ×b. Знайти довжини векторів a, b, c

і кути між ними.

1.20. Дано a +b +c = 0, a = b = c = 1. Знайти a b +b c + c a. 1.21. Довести, що рівність a ×b = b ×c = c ×a буде правиль-

ною тоді й тільки тоді, коли a +b + c = 0.

1.22. Знайти кут між векторами a та a= a + εb і довжину вектора aіз точністю до членів порядку ε2, якщо 0 < ε 1.

1.23. Вираз

 

r r

 

 

розкласти у ряд Тейлора за r'/r із точністю

 

 

до (r'/r)2, якщо

 

r

 

 

r.

розкласти у ряд Тейлора за r /r

із точніс-

1.24.

Вираз 1 r r

 

 

 

 

 

 

 

 

тю до (r'/r)2, якщо

r

 

r.

 

 

1.25. Для яких

значень параметра р

вектори

a = (0,1,0),

b =(p,0,3) і c =(p,0,p) утворюють праву (ліву) трійку?

1.26. Довести компланарність векторів

nc pb,

pa mc,

mb na, де n, p, m –числові коефіцієнти.

 

 

1.27.Дано призму об'ємом V. Обчислити мішаний добуток векторів ( AB, BC,CD) (рис. 1.1).

1.28.Дано куб зі стороною a. Обчислити мішаний добуток векторів ( p, q, r ) . Виконати аналогічне обчислення, якщо за-

мість куба дано паралелепіпед об'єму V (рис. 1.2).

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]