ovta-zbirnyk-zadach

4.2. Указівка: показати, що tijk

= −tijk .

4.3. Указівка: умову tik a jk

= δij

переписати у матричній формі.

4

5

6

4

8

12

4.7.

a b =

8 10 12

5 10 15

.

, b a =

12

15

18

6

12

18

4.9. а)

a (b c ),

б)

(a b )c ,

в)

b2 a ,

г) 0.

4.10. а)

t(a + b ) = (a b )(a ± b ) + b2 a ± a 2b ,

t(a − b ) = (a b )(a b ) − b2 a ± a 2b ,

б) 0.

4.11. a2 b2 ,

(a b )2 .

1

1 −2

0 −3 5

4.12.

1

−5 7

3 0 −1

,

S =

,

A =

−2 7

9

0

−5 1

а) 5; 0; 5;

б) b = (6,12, 36),

c = (−12,12,42);

в) 138;

г) 215, 70;

−2/3

−2

3

13/3

4

−20/3

6

26/3

344/3;

є) 28, 8, 42, –26.

д)

,

,

−7

8

22/3

31

14

30

−4 2 3

9

4.13. а)

32

36

, 228; б)12,0,

0;

в)15,0,15; г)

4 0 6

22

, 158.

,

,

50

42

7 8 4

35

ε11 − ε13ε31/ε33

ε12 − ε13ε32 /ε33

0

4.14. 221.

4.15. 0,

ε21 − ε23ε31/ε33

ε22 − ε23ε32 /ε33

0 .

0

0

0

101

4.18. а) L = ω(0, −I sin α, I3 cos α) ,

(I3 − I ) sin 2α

2

2

L′ = ω

0,

, I sin

α + I3 cos

α

,

2

1

б)

T = T

′

=

2

ω

2

(I sin

2

α + I3 cos

2

α),

в)

N = (I − I3 )ω2 sin α cos αe1 ,

N ′ = (I − I3 )ω2 sin αcos αe1′ .

б)

j = (σ cos α)2

+ (σ

2

cosβ)2 + (σ

3

cos γ)2 E,

1

σ

cos θ =

,

(σ cos α)2

cos β)2 + (σ

+ (σ

2

3

cos γ)2

1

в)

j = σE , j = (σ cos α)2 + (σ

2

cosβ)2 + (σ

3

cos γ)2 −σ2 E .

1

4.30.

u

=

v

,

μ

= a2b2 − (a b )2 . Вектори a × b ,

u та v утво-

рюють праву (ліву) трійку векторів, якщо μ =

μ

( μ = −

μ

).

4.31. a = te1 , b = te2 , c = te3 , або a = e1t , b = e2 t ,

c = e3 t .

102

4.38. t−1 = a * e

+ b * e

+ c * e ,

t−1 = e a *+e

b *+e c *, де

1

1

2

3

2

1

2

3

вектори a*, b * ,

c* взаємні до векторів a, b , c.

4.40. λijkl = αδijδkl +βδik δjl + γδilδjk ,

а) αδijukk

+βuij + γu ji ,

б) αδij ukk + (β + γ)uij , в) (β − γ)uij ; г) (3α + β + γ)δij .

4.41. Загальний випадок λijkl = Aδij δkl + Bδik δ jl

+ C δil δ jk ,

а)

λijkl

= Aδijδkl

+ B(δik δjl + δil δjk ),

б)

λijkl

= A( 1 2 (δik δ jl + δil δ jk ) − 13 δij δkl ),

λijkl = 0,

в)

λijkl

= A(δij δkl

+ δik δ jl

+ δil δ jk ),

г)

д)

λijkl

= A(δik δ jl − δil δ jk ).

δij sk sl , δik s j sl , δil s j sk , δ jk si sl , δ jl si sk , δkl si s j ,

si s j sk sl .

4.47. а)

ηijkl

= A(δij δkl

+ δik δ jl

+ δil δ jk ) +

+ B(δ s s +δ s

s +δ s

s +δ

s s +δ

s s +δ

s s

j

) +Cs s

s s ,

ij k l

ik

j l

il

j k

jk i l

jl i k

kl i

i

j k l

б)

ηijkl = Aδijδkl + D(δik δjl + δilδjk ) +

+B(δ s s +δ s s

j

) +F(δ s

s +δ s s +δ

s s +δ

s s ) +Cs s s s .

ij k l

kl i

ik

j l

il j k

jk i l

jl i k

i j k l

4.48. η

ijkl

=

1

3

λ (δ

ij

δ

kl

+ δ

ik

δ

jl

+ δ

il

δ

jk

)

+ (λ

1

+ λ

3

− 6λ

2

)s s

j

s

k

s +

1

i

l

+(λ3 − 13 λ1 )(δij sk sl + δik s j sl + δil s j sk + δ jk si sl + δ jl si sk + δkl si s j ) .

= 0,

=δ/3,

=0,

= (δ δ

+δ δ

+δ

δ )/15.

4.49.

n

nn

nn

n

n n

j

n n

jl

jk

i

i j

ij

i j

k

i

k

l

ij kl

ik

il

4.50. а)

1

3

a2 ;

б)

1

3

(a b);

в)

1

3

a;

г)

2

3

a2 ;

д)

2

3

(a b);

є) 115 ((a b )(c d ) + (a c )(b d ) + (a d )(b c ) ) .

4.51. Оскільки протилежні орієнтації вектора

s

рівноймовірні,

то тензори непарних рангів дорівнюють нулю:

= 0 ,

= 0 .

si

si s j sk

Тензор

є симетричним та одновісним щодо напрямку век-

si s j

тора n . Позначивши

через

εij ,

відповідно до результатів

si s j

задач 4.44 і 4.45, маємо

εij

= ε1δij + (ε3 − ε1 )ni n j ,

де

ε1 =

sx2

=

s2y

,

ε3 =

sz2

у системі координат із віссю Oz,

паралельною до s.

Крім того,

s 2

= 1 ,

тому

sx2

+

s2y

+

sz2

= 2ε1 + ε3 = 1 . Отже,

головні

значення тензора

задаються одним незалежним парамет-

si s j

π

2

∫

P′(cos θ)P (cos θ) sin θd θ =

δ ′ .

l

l

2l +1

l l

0

У розкладанні функції розподілу f(θ) коефіцієнти

S

=

1

π

f (θ) P (cos θ) sin θd θ

l

2

∫

l

0

, де

– так звані параметри порядку, Sl

=

Pl (cos θ)

2 π

π

4

π

∫

∫

P (cos θ) =

1

d ϕ

P

(cos θ) f (θ) sin θd θ .

l

l

= 1

0

0

= 1

Зокрема,

S

2

2

(3cos2 θ −1),

S

4

8

(35cos4

θ − 30cos2 θ + 3),

s4 = 1

звідки s2

= 1

3

(1

+

2S

2

),

35

(8S

4

+

20S

2

+ 7). Тоді остаточно

z

z

si s j = 13 δij + S2

(ni n j

− 13 δij ). Частина цього тензора, пропор-

n ,

отже має загальний вигляд, отриманий у задачі 4.48.

s

s

j

s

k

s

l

= 1

3

λ

1

(δ

ij

δ

kl

+ δ

ik

δ

jl

+ δ

il

δ

jk

) + (λ

1

+ λ

3

− 6λ

2

)n

n

j

n

k

n

l

+

i

i

+(λ3 − 13 λ1 )(δij nk nl + δik n j nl + δil n j nk + δjk ninl + δjl nink + δkl nin j ) ,

де λ1 =

sx4

,

λ2

=

sx2 sz2

, λ3 =

sz4

. Ураховуючи, що вектор s

– оди-

значення

s s

j

виражаються через два незалежні параметри s2 та

i

z

: sx2 = 12(1− sz2 ) , λ3 =

, λ2 = 12 (sz2 − sz4 ), λ1 = 3 8 (1 − 2 sz2 + sz4 ).

sz4

sz4

можна виразити через параметри порядку

У свою чергу,

sz2

і

sz4

заданого s

стає одновісним після усереднення за орієнтаціями

кристалічних осей,

перпендикулярних до s ,

і має вигляд (див.

задачу 4.48)

η

ijkl

= 1

3

λ

1

(δ

ij

δ

kl

+ δ

ik

δ

jl

+ δ

il

δ

jk

) + (λ

1

+ λ

3

− 6λ

2

)s

s

j

s

k

s

l

+

i

+(λ3 − 13 λ1 )(δij sk sl + δik s j sl + δil s j sk + δ jk si sl + δ jl si sk + δkl si s j ) .

ε

ij

= 1

3

(2ε + ε

3

)δ

ij

+ S

2

(ε

3

− ε

1

)(n

n

j

− 1

3

δ

ij

) ,

1

i

ςijkl

= 13 μ1 (δij δkl

+ δik δ jl

+ δil δ jk

) + (μ1 + μ3 − 6μ2 )ni n j nk nl +

+(μ3 − 13 μ1 )(δij nk nl + δik n j nl + δil n j nk + δjk ninl + δjl ni nk + δkl ni n j ).

5.1. λ1,2

=

t11 +t22

±

t11 −t22

2

+(t12 )

2

, тензор діагоналізується

2

2

поворотом навколо осі Oz

на кут

ϕ = 1

2t12

.

2 arctg t −t

22

11

λ1,2

=

t11 +t22

±

t11 −t22

2

+(t12 )

2

,

λ3 = t33 .

2

2

відношення a

a

* = 0 ,

a a

2

= 1 ,

a

2

= a

*.

1

2

1

1

5.5. а) λ1 = 1 , λ2,3 = 3 ±

10 ;

x1 = (1,0,0)

,

x2,3

= (0, 3,1 ±

10 ) ;

б)

λ1 = 3 , λ2,3 = (3 ±

17 )/2;

x1 = (0,0,1)

,

x2,3

= (4,1 ± 17 , 0) ;

в)

λ1 = 1 , λ2,3 = 1 ±

3 ; x1 = (1, −1,1) ,

x2,3

= (2 3,1, −1 ±

3 ) ;

г)

λ1=4, λ2,3 = (5 ±3

5)/2; x1 =(2,−2,1),

x2,3 = (−5 ±3 5, 2,14 6 5);

д)

λ1,2 = 1, λ3 = 4; x3 = (1,1,1) , для дійсного симетричного тен-

є) λ1 = 0, λ2 =1, λ3 = 4 ; x1 = (1,1,0) ,

x2 = (1, −1,1) ,

x3 = (−1,1, 2) .

5.6. λ

= 0 ,

λ

2

= 1,

λ

3

= 4,

x R = 1

(−2,1, 0) ,

x R

= (0,0,1) ,

1

1

5

2

xR =

1

x L

= 1

(2,1,0);

xL =

1

(−1, 2,0) ,

= (0, 0,1) ,

xL

(1,2,0) .

3

5

1

5

2

3

5

5.7. Для всіх матриць λ1

= –1, λ2

= 1. Власні вектори для σ1:

x = 1

(1, −1) ,

x

=

1

(1,1) ; для σ2:

x =

1

(i,1)

, x = (−i,1) ;

1

2

2

2

1

2

2

для σ3:

x1 = (0,1) ,

x2 = (1, 0) .

5.8. λ

= ±

1

;

1

iϕ θ

,

1

iϕ

θ

.

±

x

=

1,e tg

x

=

1,

−

e ctg

2

+

cos(θ/2)

2

−

sin(θ/2)

2

1

1

5.9. λ

= 1,

λ

3,4

= −1;

e =

(1, 0, 0,1) ,

e

=

(0,1,1, 0) ,

1,2

1

2

2

2

1

1

e =

(−1, 0, 0,1),

e

4

=

(0, −1,1, 0);

довільна лінійна ком-

3

2

2

бінація векторів e1 і e2 , а також векторів e3 і e4

буде власним

вектором.

sin 2 ϕ

−sin ϕcos ϕ

0

5.10. а) ml

2

−sin ϕcos ϕ

cos

2

ϕ

0

,

ϕ − кут між стержнем

івіссю Ox,

0

0

1

б) λ1 = 0, λ2,3

= ml2; x

= (cos ϕ,sin ϕ, 0)

, x = (− sin ϕ,cos ϕ,0) ,

1

2

x3 = (0, 0,1) ; вектори x2 ,

x3 вибираються неоднозначно, довіль-

0

0

0

власним вектором; г) ml

2

0

1

0

.

0

0

1

I2 = ((a, B, C ) + ( A, b , C ) + ( A, B, c ))/(a, b , c ),

I3 = ( A, B, C )/(a , b , c ).

Указівка: t = A a* + B b* +C c* =

=

1

(A (b ×c) + B (c ×a) +C (a ×b)) ,

(a,b,c)

I2

−1

*

*

*

−1

t

= a A

+b B

+ c C

. Sp t

=

.

det t

t11

t12

t13

a1

b1

c1

A1

B1

C1

t22

b2

A2

B2

випливає рів-

Із t21

t23 a2

c2 =

C2

t

31

t

32

t

33

a

3

b c

3

A B C

3

3

3

3

ність det t(a, b , c ) = ( A, B, C ).