- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
В отличие от случая 1.7.1 в данном случае на следующей итерации вырожденность уже не имеет места, причем значение целевой функции улучшается.
Пример 6. В стандартной форме
(1)
, (2)
, (3) ,
, (4)
(5)
Б |
с |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
Замечания | |||||||||
0 |
12 |
4 |
3 |
1 |
0 |
0 |
3 |
Признак вырожденности | ||||||||
0 |
8 |
4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 | |||||||||
0 |
8 |
4 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
2 | |||||||||
|
0 |
-3 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
| |||||||||
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
8 |
- вырожденное неоптимальное решение | ||||||||||
0 |
4 |
0 |
2 |
1 |
-1 |
0 |
2-min | |||||||||
0 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
-1 |
1 |
отр | |||||||||
|
6 |
0 |
- |
0 |
0 |
| ||||||||||
3 |
1 |
0 |
- |
0 |
|
- оптимальное вырожденное решение. | ||||||||||
2 |
2 |
0 |
1 |
- |
0 |
| ||||||||||
0 |
4 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
1 |
| |||||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
Задача о назначениях
Требуется распределить работ постанкам. Работа, выполнимая на станке, связана с затратами. Задача состоит в таком распределении работ по станкам ( одна работа выполняется одним станком ), которое соответствует минимуму суммарных затрат. Такая задача известна какзадача о назначениях.
Эту задачу можно рассматривать как частный случай транспортной задачи. Здесь работы представляют «исходные пункты», а станки – «пункты назначения». Предложение в каждом исходном пункте равно 1, т.е. .Аналогично спрос в каждом пункте назначения равен 1, т.е.. Стоимость «перевозки» (прикрепления) работык станкуравна. Если какую-либо работу нельзя выполнить на некотором станке, то соответствующая стоимостьберётся равной очень большому числу.
Общая структура задачи о назначениях имеет вид:
В случае существования дисбаланса, добавив фиктивные работы или станки в зависимости от начальных условий, можно его ликвидировать. Поэтому без потери общности можно положить .
Задачу о назначениях можно представить следующим образом. Пусть
Теперь задача будет формулироваться как
Заметим, что оптимальное решение задачи о назначениях не изменится, если к любой строке или столбцу матрицы стоимостей прибавить (или вычесть) постоянную величину. В самом деле, если ивычитаются изой строки иго столбца, то новые стоимости имеют вид. Отсюда получается новая целевая функция
Поскольку , то. Следовательно, минимизация исходной целевой функцииприводит к такому же решению, как минимизация. Приведённое соображение показывает, что если можно построить новуюматрицу с нулевыми элементами и эти нулевые элементы соответствуют допустимому решению, то такое решение будет оптимальным, поскольку стоимость не может быть отрицательной.
Специфическая структура задачи о назначениях позволяет разработать эффективный метод её решения. Покажем, как реализуется этот метод на примере.
Презентация решения задачи о назначениях
Интерпретация симплекс-таблиц – анализ модели на чувствительность
Анализ моделей на чувствительность – это процесс, реализуемый после того, как оптимальное решение задачи получено. Исследователя вряд ли устроила бы заключительная симплекс-таблица, из которой можно было бы получить только список переменных и их значения. На самом же деле результирующая симплекс-таблица «насыщена» весьма важными данными, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных. Из симплекс-таблицы либо непосредственно, либо при помощи простых дополнительных вычислений можно получить информацию относительно
1) оптимального решения,
2) статуса ресурсов,
3) ценности каждого ресурса,
4) чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.
Сведения, относящиеся к первым трем пунктам, можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимального решения. Получение информации, относящиеся к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений.
Для иллюстрации возможностей получения указанной выше информации из заключительной симплекс-таблицы воспользуемся опять задачей 1. Эта задача формулируется следующим образом:
max ( прибыль )
Оптимальная симплекс-таблица имеет вид:
Базис |
с |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 | |||||
2 |
0 |
1 |
- |
0 |
0 | |||||||
3 |
1 |
0 |
- |
0 |
0 | |||||||
0 |
3 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 | |||||
0 |
0 |
0 |
- |
0 |
1 | |||||||
Решение |
0 |
0 |
0 |
0 |
1) Оптимальное решение
Управляемые переменные |
Оптимальные значения |
Решение |
31/3 |
Объём производства краски для наружных работ должен быть равен 31/3 т в сутки | |
11/3 |
Объём производства краски для внутренних работ должен быть равен 11/3 т в сутки | |
122/3 |
Прибыль от реализации продукции равна 122/3 тыс. долл. ( в сутки ) |
2) Статус ресурсов
Прямая, проходящая через оптимальную точку, представляет связывающее ограничение ( на рисунке 1.1 ограничения 1 и 2 ). В противном случае соответствующее ограничение будет несвязывающим ( на рисунке 1.1 ограничения 3 и 4 ). Связывающее ограничение относится к разряду дефицитного ресурса, несвязывающее – недефицитный ресурс.
Ресурс |
Остаточные переменные |
Статус ресурса |
Исходный продукт А |
(нет в базе) |
Дефицитный |
Исходный продукт В |
(нет в базе) |
Дефицитный |
Превышение объёма производства краски для внутренних работ по отношению к объёму производства краски для наружных работ |
Недефицитный | |
Спрос на краску для внутренних работ |
Недефицитный |
3) Ценность ресурса
Ресурс |
Статус ресурса |
Ценность ресурса |
Исходный продукт А |
Дефицитный | |
Исходный продукт В |
Дефицитный | |
Превышение объёма производства краски для внутренних работ по отношению к объёму производства краски для наружных работ |
Недефицитный |
0 |
Спрос на краску для внутренних работ |
Недефицитный |
0 |
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение исходного продукта В и лишь затем – на увеличение исходного продукта А. Что касается недефицитных ресурсов, то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.
4) Максимальное изменение запаса ресурса
Базис |
с |
3 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 | ||
0 |
8 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 | |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 | |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 | |
|
0 |
-3 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 | ||||
3 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 | |||
0 |
5 |
0 |
0 |
1 |
0 | |||
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 | |
|
12 |
0 |
- |
0 |
0 |
0 | ||
2 |
0 |
1 |
- |
0 |
0 | |||
3 |
1 |
0 |
- |
0 |
0 | |||
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
0 | ||
0 |
0 |
0 |
- |
0 |
1 | |||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Величина должна быть ограничена таким интервалом значений, при которых выполняется условие неотрицательности правых частей ограничений, т.е.
;