- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.
Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
В процессе статистического наблюдения обследованию могут подвергаться все элементы данной совокупности или некоторая часть их. В соответствии с этим наблюдения бывают сплошными или несплошными. Наиболее совершённый и научно обоснованный способ несплошного наблюдения – это выборочное наблюдение.
Выборочной совокупностью(выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностьюназывается совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объёмом совокупностиназывается число объектов этой совокупности. Например если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объём генеральной совокупности, а объём выборки.
Различают повторные и бесповторные выборки.
Выборка называется повторной, если отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.
Выборка называется бесповторной, если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Особенностью выборочного наблюдения является то, что отбор объектов наблюдения выполняется в случайном порядке. Поэтому к выборочному наблюдению применимы положения и теоремы теории вероятностей, дающие возможность определять границы возможных ошибок. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности , необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной(представительной).
На практике применяют различные способы отбора: отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части (простой случайный бесповторный отбор, простой случайный повторный отбор) и отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор, механический отбор, серийный отбор).
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности.
Типическимназывают отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой её «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведённых всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.
Механическимназывают отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь.
Серийнымназывают отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.