Министерство образования и науки российской федерации

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной

технический университет» в г. Салавате

КУРС ЛЕКЦИИ ПО РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ

«Дифференциальные уравнения»

«Ряды»

«Комбинаторика»

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Линейное программирование»

Составитель: Хазиев Ф.М.

Салават 2015

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи её производныеи записывается

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

1. - обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

2. - уравнение в частных производных 1-го порядка.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид . Если это уравнение можно разрешить относительно, то его можно записать в виде. Для такого уравнения справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:

Т е о р е м а. Если в уравнении функцияи её частная производнаяпонепрерывны в некоторой областина плоскости, содержащей некоторую точку, то существует единственное решение этого уравненияудовлетворяющее условию:при

Условие, что при , называется начальным условием и записывается или.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая зависит от одного произвольного постоянногои удовлетворяет условиям:

- она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного ;

- каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения если в последнем произвольному постоянномупридать определённое значение.

Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где правая частьесть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от, преобразуем его следующим образом

Последнее равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределённые интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя, получим

Дифференциальное уравнение типа

называют уравнением с разделёнными переменными. Общий интеграл его равен

.

Уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обеих его частей на выражение :

,

или