Интегральная теорема Лапласа

Как вычислить вероятность того, что событие А появится в испытаниях не менее раз и не болеераз (для краткости будем говорить «отдораз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях отраз, приближённо равна определённому интегралугдеи.

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, т.к. неопределённый интегралне выражается через элементарные функции. В таблице даны значения функции Ф() для положительных значениии для=0. Для<0 пользуются той же таблицей, учитывая, что функция Ф() нечётна, т.е. Ф() =Ф(). В таблице приведены значения интеграла лишь до=5, т.к. для>5 можно принять Ф() = 0,5. Функцию Ф() называют функцией Лапласа.

Для того, чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем выражение (1) .

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях от раз,

, где и .

Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин

Бросается игральная кость, при этом могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Заранее определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначаются буквами X, Y, Z, … , а их возможные значения соответственно x, y, z, ….

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорождённых есть случайная величина, которая имеет возможные значения: 0, 1, 2, 3, … , 100.

Значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений. В этом случае случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина.

Случайная величина могла принять любое из значений промежутка . Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины (дсв) называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения дсв можно задать таблично, в виде формулы и графически. При табличном задании закона распределения дсв первая строка таблицы содержит возможные значения, вторая – их вероятности: