- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признакомизвлечена повторная выборка объёма:
…
…
Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещённой оценкой , другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно
.
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы её математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь, после чего получим исправленную дисперсию, которую обозначают через:
Исправленная дисперсия является, конечно, несмещённой оценкой генеральной дисперсии, а именно:
.
Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию
Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, – точечные. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами - концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра и будем считать. Очевидно,тем точнее определяет, чем меньше абсолютная величина разности. Другими словами, еслии, то чем меньше, тем точнее оценка. Таким образом, положительное числохарактеризуетточность оценки.
Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству. Можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.
Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки поназывается вероятность, с которой осуществляется неравенство, т.е..
Обычно надёжность оценки задаётся наперёд, причём в качестве берут число, близкое к единице: 0,95; 0,99; 0,999.
Пусть . Откуда. Это соотношение означает, что вероятность того, что интервалзаключает в себе неизвестный параметр, равна .
Доверительным интервалом называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
Основной задачей применения выборочного метода является определение по данным выборочного обследования признаков, характеризующих генеральную совокупность. В частности, выборочное наблюдение проводится для определения границ, в которых должна находиться генеральная средняя, а также для определения по данным о выборочной доле границ, в которых должна находиться генеральная доля. Такая постановка вопросов требует применения теоремы Лапласа в виде
(|-|<δ),
где - генеральная средняя,- выборочная средняя,- средняя квадратическая ошибка выборки.
При решении всех таких вопросов требуется применение величины , выражающей среднюю ошибку репрезентативности. Значения этой ошибки определяется по четырём формулам:
- для случайной повторной выборки при определении средней признака
,
где обозначает дисперсию средней () в выборке, причём генеральная дисперсиязаменяетсядисперсией случайной величины в выборке (поскольку генеральная дисперсия неизвестна);
- для случайной повторной выборки при определении доли признака
,
где обозначает доли данного и противоположного признака в выборке;
- для случайной бесповторной выборки при определении средней
,
где обозначает необследованную часть генеральной совокупности;
- для случайной бесповторной выборки при определении доли
.
Пример 2. Из партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии, отличается от их доли в выборке (не более чем на 0,015 , если выборка: а) повторная, б) бесповторная.
Р е ш е н и е . а) повторная выборка
, ;
б) бесповторная выборка
,