Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём наблюдалосьраз,-раз, и т.д.раз и- объём выборки.

Наблюдаемые значения называютвариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называютчастотами, а их отношения к объёму выборки- относительными частотами.

Статистическим распределением выборкиназывается перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Следует отметить, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.

Пусть - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее- объём выборки. Относительная частота событияравна. Еслиизменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т.е. относительная частотаесть функция от. Так как эта функция находится опытным путём, то её называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значенияотносительную частоту события. Итак

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функцияопределяет вероятность события, а эмпирическая функцияопределяет относительную частоту этого же события.

Функция обладает следующими свойствами:

1. значения функции принадлежат отрезку ;

2. - неубывающая функция;

3. если - наименьшая варианта, топри; если- наибольшая варианта, топри.

Пример 1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

1 4 6

10 15 25

Р е ш е н и е. . Наименьшая варианта равна 1, поэтомупри. Значение, а именно, наблюдалось 10 раз, значит,при. Значение, а именно:и, наблюдалось 10+15=25 раз; следовательно,при. Так как- наибольшая варианта, топри.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ,, . . . ,.

При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длиной и находят- сумму частот вариант, попавших вi-ый интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению. Площадь частичного -го прямоугольника равна- сумме частот вариант, попавших в-ый интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною(плотность относительной частоты).

На рис. 3 изображена гистограмма частот по данному распределению выборки объёма .

Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1 – 5	10	2,5
5 – 9	20	5
9 – 13	50	12,5
13 – 17	12	3
17 – 21	8	2