Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Рассмотрим интервал и определим вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, заключённые в этом интервале. Согласно свойству 2 имеем. Разделим эту величину на ширину интервала, получим величину вероятности, приходящейся на единицу длины интервала:, которую назовём средней плотностью распределения вероятности на интервале. Введём понятие плотности распределения вероятности в данной точке, определив её как предел средней плотности на интервале при условии, чтои указанный предел существует. Обозначим эту плотность распределения вероятностей через, тогда

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию- первую производную от функции распределения:

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения. А именно. Таким образом:

Заметим, что закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан как функцией распределения, так и плотностью распределения. Для дискретной случайной величины имеет смысл только функция распределения вероятностей (почему?).

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу .. Итак

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. .

2. 

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

Из дифференциального исчисления известно, что . Так как, получим

.

Последнее выражение означает: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближённо равна произведению плотности вероятности в точкена длину интервала. В этом заключается вероятностный смысл плотности распределения.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Понятие математического ожидания и дисперсии дискретной величины могут быть распространены на непрерывную случайную величину. Только при этом вероятность того, случайная величина примет данное значение , следует заменить на вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый интервал шириной , а суммирование – интегрированием. Из определения функции распределении следуетУмножая наи интегрируя от, получим следующую формулу, определяющую математическое ожидание непрерывной случайной величины:

при условии, что несобственный интеграл сходится.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определённый интеграл

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Если возможные значения принадлежат отрезку

.

При решении задач часто пользуются преобразованной формулой дисперсии. А именно

Законы распределений

При решении задач приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.

Равномерное распределение

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Найдём плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , на котором плотность сохраняет постоянное значение. Заметим, что по условию не принимает значений вне интервала, т.е.

Найдём постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то. Откудаи плотность распределения примет вид: