Формула Бейеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, … , В_n , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что в результате испытания появилось событие А. Возникает задача, как изменились вероятности самих гипотез в результате наступления события А. Другими словами надо найти условные вероятности , где .

По теореме умножения зависимых событий имеем

.

Отсюда , зная, что, получим

.

Полученные формулы называются формулами Бейеса, которые позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Повторение испытаний

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, и равна . Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна.

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при испытаниях событие А осуществится ровнораз и, следовательно, не осуществитсяраз, причём совсем не требуется, чтобы событие А повторилось ровнораз в определённой последовательности. Такая вероятность обозначается.

Формула Бернулли

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли. Вероятность сложного события, состоящего в том, что в испытаниях событие А наступит раз и не наступитраз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. А так как вероятности этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:.

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли применяется, как правило, при небольших значениях . Если число испытаний достаточно велико, то в этом случае применяется локальная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях ровно раз , приближённо равна значению функции

.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функциячетна, т.е..

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях ровнораз, приближённо равна

. Формула Пуассона

Чуть изменим условие поставленной задачи, а именно, найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала (), событие наступит ровно раз. В этих случаях (велико,прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно,Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: (т.к. , то) =. Приняв во внимание, что имеет большое значение, вместонайдём. При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности:хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремимк бесконечности. Заметим, что поскольку произведение ,сохраняет постоянное значение, то привероятность. Итак,