Графики функций

График функции f : A  B – это график соответствующего ей бинарного отношения   f  AB. Таким образом, Г(f) = {(a; b)  AB | a f b} формально совпадает с самим множеством f, хотя и изображается на плоскости RR. В этом отличие введённого понятия функции от школьного определения, в котором график функции – кривая на плоскости, а сама функция – закон соответствия y = f(x).

Условие функциональности a  D(f)  ! b  B b = f(a) означает, что каждая вертикальная прямая y = x₀  A пересекает график функции не более, чем в одной точке. При этом области

D(A) = {a  A |  b  B b = f(a)},

Im(f) = {b  B |  a  A b = f(a)}

определения и значений функции будут изображаться ортогональными проекциями графика функции f на оси Ox и Oy соответственно.

Упражнения: 1. Постройте графики функций:

а) y = sin(0,5x –  / 2), б) y = 1/(x² – 1), в) f = {(a; b)  RR | e ^a+b = 1},

г) y = 2^x+2^–x.

2. Найдите области определения и значений функций из упражнения 1.

3. Найдите все функции f : [0; 1]  [0; 1] с условиями D(f) = [0; 1] = = Im(f), графики которых одновременно симметричны относительно двух прямых y = x, y = 1 – x.

Функции специального вида

В математике важную роль играют функции, обладающие некоторыми специальными свойствами. Пусть f: A  B – функция из А в B. Говорят, что f

отображение, если	D(f) = A, т.е.  a  A  b  B b = f(a)
сюръективна (наложение), если	Im(f) = B, т.е.  b  B  a  A b = f(a)
инъективна (вложение), если	 b  B  ! a  A b = f(a) или  a1 , a2  A f(a1) = f(a2)  a1 = a2
биективна, если	f – инъективное и сюръективное отображение

Легко понять, что означают эти свойства на языке графов и графиков:

Свойство	Граф	График
отображение	из каждой вершины  а  А графа выходит одна стрелка:	каждая вертикальная прямая x = a  А пересекает график в одной точке
сюръективность	в каждую вершину  b  B графа входит хотя бы одна стрелка: b	каждая горизонтальная прямая y = b  B пересекает график хотя бы в одной точке
инъективность	в каждую вершину  b  B графа входит не более одной стрелки:	каждая горизонтальная прямая y = b  B пересекает график ровно в одной точке
биективность	все три предыдущие свойства	все три предыдущие свойства

Примеры: 1. Пусть А  . Тогда функция id_A : A  A, заданная правилом  a  A id_A(a) = a, будет биективна.

Действительно, чтобы в этом убедиться, проще всего построить график – он представляет собой диагональD = {(a; a)  AA} и удовлетворяет всем требованиям биективности функции.

2. Функция f: R  R, заданная правилом f(x) = e^x, инъективна, но не сюръективна, а потому и не биективна, т.к. Im(f) = R₊  R.

3. В отличие от предыдущего примера, функция f: R  R₊ , заданная правилом f(x) = e^x, инъективна, сюръективна и биективна.

4. Функция f: R  R, заданная правилом f(x) = sin x, не является ни инъективной, ни сюръективной, ни биективной.

5. Функция f: R  R, заданная правилом f(x) = ln x, является инъективной и сюръективной, но не биективной, т.к. D(f) = R₊  R, т.е. она – не является отображением.

Упражнение. Определите виды функций:

а) f : [0; 1]  [0; 1], f(x) = e^x, б) f : R  [0; 1], f(x) = e^x,

в) f : R  R, f(x) = e^{tg x}, г) f : R  R₊ , f(x) = e^{tg x},

д) f : R  R₊ , f(x) = ln(1 – x), е) f : [–1; 1]  R , f(x) = ln(1 – x).