§ 4. Отношения эквивалентности и разбиения множеств
Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Примеры: 1. Отношение равносильности является отношением эквивалентности на множестве Ф всех формул исчисления высказываний.
2. Отношение равенства = множеств является отношением эквивалентности на множестве B(U) – множестве всех подмножеств множества U.
3
.
Отношением эквивалентности будет
бинарное отношение подобия ~ треугольников
на множестве
всех
треугольников плоскости.
4. Будет отношением эквивалентности и бинарное отношение на множестве А = {0, 1, 2, 3}, заданное графом, приведённым слева.
5. Пусть A = Z , x y (x – y 3). Проверим, будет ли отношением эквивалентности ?
Рефлексивность: a Z a – a 3 – верно, т.к. 0 3. Значит, рефлексивно.
Симметричность: a, b R a – b 3 b – a 3 – верно, т.к. если a – b 3, т.е. a – b = 3q (q Z), то b – a = 3(–q), т.е. b – a 3. Значит, симметрично.
Транзитивность: a, b, c Z a – b 3 b – c 3 a – c 3. Это тоже верно: если a – b 3 и b – c 3, то a – c = (a – b)+(b – c) 3. Таким образом, транзитивно.
Итак, – отношение эквивалентности.
Для отношения
эквивалентности
на множестве
A
с каждым элементом a
A
можно связать
множество
= {b
A
| a
b},
которое называется классом
эквивалентности отношения
с представителем a.
Множество
= {
| a
A}
всех классов
эквивалентности отношения
называется
фактор-множеством
множества A
по отношению эквивалентности .
Примеры: 1. Найдём все классы эквивалентности и фактор-множество для отношения эквивалентности из предыдущего примера 4.
Ясно, что
= {b
A
| 0
b}
= {0},
= {b
A
| 1
b}
= {1, 2, 3},
= {b
A
| 2
b}
= {1, 2, 3},
= {b
A
| 3
b}
= {1, 2, 3}.
Таким образом, получилось всего два
различных класса эквивалентности:
= {0}
и
=
=
= {1, 2, 3},
т.е. фактор-множество
= {
,
}
в данном
случае состоит из двух элементов. При
этом множество А
= {0, 1, 2, 3}
разбилось на два непересекающихся
подмножества: А
= {0}
{1, 2, 3}, которые
и являются найденными классами
эквивалентности:
|
А |
0 |
|
1, 2, 3 |
2. Найдём все классы эквивалентности и фактор-множество для отношения эквивалентности из предыдущего примера 5.
Имеем:
= {b
Z
| 0
b}
= {b
Z
| 0 – b
3} = {b
Z
| b
3} =
= {… , –6, –3, 0, 3, 6, …},
= {b
Z
| 1
b}
= {b
Z
| 1 – b
3} = {b
Z
| 1 – b
= 3q
(q
Z)}
= = {b
Z
| b
= 3q
– 1} = {… , –7, –4, –1, 2, 5, 8, …},
= {b
Z
| 2
b}
= {b
Z
| 2 – b
3} = {b
Z
| 2 – b
= 3q
(q
Z)}
= = {b
Z
| b
= 3q
– 2} = {… , –8, –5, –2, 1, 4, 7, …}.
Дальнейшие попытки не дают новых множеств: например,
= {b
Z
| 4
b}
= {b
Z
| 4 – b
3} = {b
Z
| 4 – b
= 3q
(q
Z)}
= = {b
Z
| b
= 3q
– 4} = {… –7, –4, –1, 2, 5, 8 …} =
.
Докажем, что
полученные три класса эквивалентности
и составляют фактор-множество
(т.е. что других классов уже нет). Это
легко сделать, если вспомнить, что при
делении на3
любое целое
число даёт остаток, равный либо 0,
либо 1,
либо 2.
Найденные три класса эквивалентностей
как раз и состоят из чисел, дающих при
делении на 3
остатки 0
– класс
,1 –
класс
и2 – класс
. Если взять любое числоx
Z,
то оно попадёт в один из найденных
классов, пусть, например, x
(т.е. чтоx
= 2 + 3n,
n
Z)
и докажем, что
=
.
Действительно,y
y
{b
Z
| x
b}
= = {b
Z
| x
– b
3}
x
– y
= 3q
(q
Z)
y
= x
– 3q
= 2 + 3n
– 3q
= = 2 + 3(n
– q)
(y
даёт остаток 2 при делении на 3)
y
.
Итак,
= {
,
,
},
и само множество всех целых чисел Z
разбивается
на три непересекающиеся части, являющиеся
найденными классами эквивалентности:
|
Z |
… , –6, –3, 0, 3, 6, … |
|
… , –8, –5, –2, 1, 4, 7, … | |
|
… , –7, –4, –1, 2, 5, 8, … |
Сделанные наблюдения можно обобщить:
Лемма (о классах эквивалентности). Пусть – отношение эквивалентности на множестве А. Тогда
a A
, a, b A (
=
)
a
b, a, b A (
)
(
=
)
, a A b A a
,
т.е.
A
=
{
| b
A}.
Доказательство.
(1)
По свойству рефлексивности отношения
эквивалентности
имеем
a
A
a
a,
т.е. a
{b
A
| a
b}
=
,
т.е.
.
(2) ()
Если
=
, тоb
=
= {b
A
| a
b},
так что a
b.
()
Предположим,
что a
b
и докажем
равенство
=
, проверив два включения
и
.
Если x
= {y
A
| a
y},
то a
x,
и учитывая, что a
b,
получим a
x
a
b
{симметричность }
x
a
a
b,
откуда по транзитивности отношения
заключаем
x
b
b
x,
т.е. x
= {z
A
| b
z}.
Таким образом,
.
Если x
= {z
A
| b
z},
то b
x,
и учитывая, что a
b,
получим a
b
b
x,
откуда по транзитивности отношения
заключаем
a
x
, т.е.
x
= {y
A
| a
x},
т.е.
.
(3) ()
Если
, нос
, то a
c
b
c
a
c
c
b,
откуда по транзитивности, a
b
и (ввиду
(2))
=
– противоречие.
()
Если
= ,
то
, ибо
– противоречие.
(4) Если
a
A,
то a
,
так что можно взятьb
= a.
Лемма доказана.
Таким образом,
фактор-множество
состоит из непустых подмножеств
множестваА
(классов
эквивалентности
),
различные из которых не пересекаются,
а в совокупности покрывают всё множествоА (A
=
{
|a
A}),
т.е.
является разбиением множестваА
в смысле
следующего определения.
Пусть А – непустое множество. Разбиением множества А называется любое множество X его подмножеств (X B(A)), удовлетворяющее следующим трём условиям:
(Р1): x X x (разбиение состоит из непустых множеств),
(Р2): x, y X (x = y) (x y = ) (различные элементы разбиения не пересекаются),
(Р3): A = X, т.е. a A x X a x (разбиение покрывает всё множество А).
Теорема (о разбиении на классы эквивалентности). Пусть А – непустое множество. Тогда
(1) всякое отношение
эквивалентности
на А определяет разбиение
множества А на классы эквивалентности,
(2) Если X
– разбиение множества А, то существует
такое отношение эквивалентности
на А, что X
=
.
Доказательство. (1) уже доказано в лемме о классах эквивалентности.
(2) Пусть задано разбиение X множества А. Определим на А бинарное отношение следующим образом: ab x X a x b x (a, b A) и проверим, что – искомое отношение эквивалентности.
Во-первых, – действительно отношение эквивалентности:
Рефлексивность: ( a A a a) ( a A x X a x a x) ( a A x X a x) – истинно ввиду (Р3).
Симметричность: ( a, b A a b b a) ( a, b A ( x X a x b x) ( x X b x a x)) – очевидно выполнено.
Транзитивность: ( a, b, c A a b b c a c) ( a, b, c A ( x X a x b x) ( y X b y c y) ( z X a z c z). Поскольку b x y, то x y и по свойству (Р2), x = y. Таким образом, a x, b x, c x и можно взять z = x X .
Итак, – отношение эквивалентности, удовлетворяющее условию b A ! x X b x (доказано при обосновании транзитивности). В дальнейшем однозначно определённый элемент x X со свойством b x будем обозначать через x(b). Тогда определение бинарного отношения можно записать в виде a b x(a) = x(b) (a, b A).
Проверим, что X
=
. Действительно, еслиx
X
, то по
свойству (Р1)
существует
a
x.
Поэтому
x
= {b
A | b
x} = {b
A | a
x
b
x} = = {b
A | x(a) = x(b)} =
.
Таким
образом, X
.
Обратно,
если
a
A,
то
= {b
A | a
b} = {b
A | x(a) = x(b)} = x(a)
X
,
т.е.
X
.
Теорема доказана.
Примеры: 1.
Задать на множестве A
= {0, 1, 3, 5} отношение
эквивалентности с фактор-множеством
= {{1}, {3}, {0, 5}}.
Во-первых, ясно, что задано разбиение множества A:
|
А |
1 |
|
3 | |
|
0, 5 |
Исходя из построения отношения эквивалентности при доказательстве теоремы, можно выписать определение искомого отношения : a b x X a x b x. Более конкретно для каждого элемента:
0 b x X 0 x b x b x = {0, 5},
1 b x X 1 x b x b x = {1},
3 b x X 3 x b x b x = {3},
5 b x X 5 x b x b x = {0, 5}.
Можно нарисовать граф полученного отношения эквивалентности:
2
.
Пусть задано разбиение множества Z
на два
подмножества: чётных и нечётных чисел.
Задать соответствующее отношение
эквивалентности на множестве Z.
Понятно, что задано действительно разбиение множества Z:
|
Z |
… , –5, –3, –1, 1, 3, 5, … |
|
… , –4, –2, 0, 2, 4, … |
В соответствии с общими рассуждениями искомое отношение эквивалентности должно объявить эквивалентными между собой все нечётные числа (из первого множества разбиения) и эквивалентными между собой все чётные числа (из второго множества разбиения). Задать такое отношение можно многими способами. Например, a b a – b 2 (a, b Z) – один из возможных способов (проверьте !!).