- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Глава I. Наивная теория множеств
- •§ 1. Основные понятия и операции
- •Основные операции над множествами
- •Универсальные множества и операция дополнения
- •§ 2. Проверка некоторых равенств со множествами
- •§ 3. Бинарные отношения и их основные свойства
- •Способы задания бинарных отношений
- •Основные типы бинарных отношений
- •§ 4. Отношения эквивалентности и разбиения множеств
- •§ 5. Функции и их основные виды
- •Графики функций
- •Функции специального вида
- •§ 6. Композиция (суперпозиция) функций
- •Обратимые функции
- •§ 7*. Об аксиоматике Цермело-Френкеля теории множеств
- •40. Аксиома существования булеана (множества всех подмножеств) :
- •50. Аксиома (неупорядоченной) пары :
- •Глава II. Мощности множеств
- •§ 1. Счётные множества и множества мощности континуум
- •Некоторые свойства счётных множеств и множеств мощности континуума
- •§ 2. Сравнение мощностей
- •§ 3. Кардинальные числа : порядок
- •Порядок на кардиналах
- •§ 4. Кардинальные числа : арифметика
- •Основные свойства операций с кардиналами
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Тобольская государственная социально-педагогическая академия
им. Д.И. Менделеева”
Кафедра математики, ТиМОМ
Валицкас А.И.
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
НАУК
Тобольск – 2012
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Глава I. |
Наивная теория множеств . . . . . . . |
3 |
|
§ 1. Основные понятия и операции . . . . . . |
3 |
|
§ 2. Проверка некоторых равенств со множествами . . |
9 |
|
§ 3. Бинарные отношения и их основные свойства . . |
14 |
|
§ 4. Отношения эквивалентности и разбиения множеств . |
22 |
|
§ 5. Функции и их основные виды . . . . . . |
29 |
|
§ 6. Композиция (суперпозиция) функций . . . . |
33 |
|
§ 7. Об аксиоматике Цермело-Френкеля теории множеств |
38 |
|
|
|
Глава II. |
Мощности множеств . . . . . . . . . |
55 |
|
§ 1. Счётные множества и множества мощности континуум |
56 |
|
§ 2. Сравнение мощностей . . . . . . . . . |
69 |
|
§ 3. Кардинальные числа : порядок . . . . . . |
76 |
|
§ 4. Кардинальные числа : арифметика . . . . . |
81 |
|
|
|
Литература |
. . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
Глава I. Наивная теория множеств
§ 1. Основные понятия и операции
В фундаменте современных математических теорий лежат понятия множества, элемента множества, отношения принадлежности элемента множеству. Интуитивный смысл этих понятий ясен: под множеством понимают совокупность некоторых объектов (которые называются элементами данного множества), мыслимых как единое целое. Для обозначения того, что объект a является элементом множества А, пишут a А (а принадлежит А). Вместо отрицания используется записьа А (а не принадлежит А).
Наиболее употребительны следующие два способа задания множеств:
перечисление элементов (используется в основном для множеств, состоящих из конечного числа элементов). Например, запись А = {1, 2, –5, 3} означает, что множество А состоит из элементов 1, 2, –5, 3. Элементами множеств могут быть и объекты различной природы. Так, множество А = {1, {1}, a} состоит из числа 1, одноэлементного множества {1} (содержащего единственный элемент – число 1) и буквы а.
выделение множества в другом множестве с помощью характеристического свойства его элементов: если В – множество и P(x) – некоторое свойство (высказывание о произвольном элементе x B), то можно определить новое множество А всех элементов x множества В, удовлетворяющих свойству P, написав А = {x B | P(x) (= 1)}. Так, например, R+ = {x R | x > 0} – множество всех положительных действительных чисел.
Замечание: одно и то же множество можно задать различными способами: например, {r R | r2 = 1} = {–1, 1} = {n Z | |n| = 1}. Поэтому важно ввести понятие равенства двух множеств.
Два множества А и В называются равными (символически А = В), если они состоят из одних и тех же элементов. Это значит, что для любого элемента а А выполнено а В, и для любого элемента b B выполняется b A. В противном случае множества А и В называются неравными: А В.
Множество А называют подмножеством множества В (говорят также, что А содержится в В или В содержит А) и записывают А В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В.
Полезно ввести в рассмотрение пустое множество = {x A | x A}, не имеющее ни одного элемента. Ясно, что для любого множества A верно A.
Примеры: 1. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Хотя порядки перечисления элементов этих множеств и различны, но каждый элемент одного множества является элементом другого множества, что и обеспечивает их равенство.
2. {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 2, 1, 3}. Второе множество, хотя и выглядит толще первого, но на самом деле состоит их тех же элементов.
3. {1, 2, 3} {3, {1}, 2}. Элемент 1 первого множества не является элементом второго множества. Точно так же Элемент {1} второго множества не является элементом первого множества. Кстати, почему 1 {1} ?
4. А = {1, 2} {1, 2, –1} = В, т.к. –1 В, но –1 А, но {1, 2} {1, 2, –1}, т.к. 1 В и 2 В.
5. Справедливы включения N = {1, 2, 3, …} Z = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …} Q = { R | m Z n N} R .