Обратимые функции

Функцию f : A  B называют обратимой, если  g : B  A gf = id_A   fg = id_B . При этом функцию g : B  A называют обратной к функции f и обозначают через f ^–1.

Примеры: 1. Для любого непустого множества A функция id_A обратима и обратна сама себе, т.е. id_A^–1 = id_A . Это следует из равенства id_Aid_A = id_A .

2. Функция f : R  R₊ , f(x) = e^x обратима. При этом обратной к ней является функция f ^–1 : R₊  R, где f ^–1(y) = ln(y).

Всё следует из тождеств e ^{ln x} = x (x  R₊), ln(e^x) = x (x  R).

3. Функция f : R  R , f(x) = e^x не является обратимой. Действительно, предположим, что существует функция g : R  R со свойством gf = id_R = fg. Тогда при x < 0 получаем 0 > x = id_R(x) = fg(x) = e^g(x) > 0 – противоречие.

4. Пусть функция f: A  A обратима. Тогда график Г(f ^–1) обратной функции симметричен графику Г(f) исходной функции относительно диагонали D = {(a; a)  AA}.

В самом деле, (a; b)  Г(f)  b = f(a)  a = f ^–1(b)  (b; a)  Г(f ^–1), а точки (a; b) и (b; a) симметричны относительно диагонали. Всё ли Вам понятно в этом рассуждении ? Восстановите все детали самостоятельно.

Теорема (критерий обратимости функции). Функция f : A  B обратима тогда и только тогда, когда f биективна.

Доказательство. () Докажем, что обратимая функция f : A  B с обратной функцией g : B  A будет биективной, т.е. D(f) = A, f инъективна и сюръективна.

Действительно, во-первых, из условия gf = id_A следует, что  a  A id_A(a) = a = g(f(a)), так что f(a) должно быть определено.

Во-вторых, f инъективно: если f(a₁) = f(a₂), то снова из условия gf = id_A получаем a₁ = id_A(a₁) = g(f(a₁)) = g(f(a₂)) = id_A(a₂) = a₂ , что и требовалось.

Наконец, f сюръективно: если b  B, то для a = g(b)  A имеем f(a) = = f(g(b)) = fg(b) = id_B(b) = b, что и требовалось.

() Докажем теперь, что любая биективная функция f : A  B обратима. Для построения обратной функции f ^–1 : B  A рассмотрим множество g = = {(b; a)  BA | b = f(a)} и докажем, что g = f ^–1 .

Во-первых, g – бинарное отношение, т.е. g  : в самом деле,  a  A (f(a); a)  g.

Во-вторых, g – функция: если (b; a₁), (b; a₂)  g, то f(a₁) = b = f(a₂), откуда ввиду инъективности функции f следует a₁ = a₂ , что и требовалось для функциональности g.

Наконец, g – обратная функция к f, т.е. gf = id_A  fg = id_B . Это проверяется непосредственно: например, из очевидных равносильностей (a; b)  f  b = f(a)  (b; a)  g  g(b) = a получаем gf(a) = g(f(a)) = = g(b) = a = id_A(a), т.е. gf = id_A .

Теорема доказана.

Следствие. Если А   и S(A) = { f  F(A) | f биективно }, то

(1)  f, g  S(A) gf  S(A),

(2)  f, g, h  S(A) (hg)f = h(gf),

(3)  id_A  S(A)  f  S(A) fid_A = f = id_Af ,

(4)  f  S(A)  f ^–1  S(A) ff ^–1 = id_A = f ^–1f.

Таким образом, (S(A),  ) – группа.