§ 5. Функции и их основные виды

Пусть A и B – два непустых множества. Если бинарное отношение   f  AB удовлетворяет следующему условию функциональности:  a  D(f)  ! b  B a f b , то оно называется функцией из А в В. Для функций обычно вместо записи a f b пишут b = f(a) и элемент b  B называют значением функции f в точке a  A. Кроме того, тот факт, что бинарное отношение f  AB является функцией из A в B кратко записывают так: f: A  B.

Примеры: 1. Пусть A = B = R, f = {(a; b)  RR | b = |a|}. Тогда f – функция: для любого a  D(f) = R значение b определено однозначно, т.к. b = |a|. На самом деле f – это знакомая со школы функция модуля:  x  R f(x) = |x|. При этом Im(f) = R₊₀ = {r  R | r  0}.

2. В отличие от предыдущего примера при A = B = R бинарное отношение f = {(a; b)  RR | a = |b|} функцией не является, т.к. например, при a = 1 обе пары (1; 1) и (1; –1) принадлежат f.

3. Пусть A = R, B = [–1; 1], f = {(a; b)  AB | b = sin a} – обычная функция синус с областями определения D(f) = R и значений Im(f) = [–1; 1].

4. В отличие от предыдущего примера при A = R, B = [0; 1] множество f = {(a; b)  AB | b = sin a}, хотя и является функцией f : A  B, но она отличается от функции синуса:

D(f) = {a  R | 0  sin a  1} =  [0+2n; + 2n], (n  Z).

Это показывает, что нужно чётко определить понятие равенства функций.

Две функций f : A  B и g : C  D называются равными, если одновременно выполнены следующие условия:

A = C, B = D, D(f) = D(g) ,  x  D(f) f(x) = g(x).

Примеры: 1. Две функции f : R  R , g : R  R₊ , заданные одной формулой  x  R f(x) = e^x = g(x) различны, т.к. в обозначениях определения равенства A = C, но B  D.

2. Две функции f : R₊  R , где  x  R₊ f(x) = x, и g: R₊  R , где  x  R₊ g(x) = e ^lnx, равны между собой, т.к. при x > 0 e^{ln x} = x.

3. Две функции f : R  R , где  x  R f(x) = x, и g: R  R , где g(x) = e ^lnx, не равны между собой, т.к. D(f) = R  R₊ = D(g).

Упражнения: 1. Будут ли функциями множества

а) f = {(x; y)  RR | y = ln x+ln(–x)}, б) f = {(x; y)  RR | y = ln x+ln|x|},

в) f = {(x; y)  RR | x+y = |x|+|y|}, г) f = {(x; y)  R₊R₊ | x+y = |x|+|y|},

д) f = {(x; y)  RR₊ | x+y = |x|+|y|} ?

2. Найдите области определения и значений функций

а) f = {(x; y)  RR | y = ln(–x)}, б) f = {(x; y)  RR | y = e^x+ln x },

в) f = {(x; y)  R₊R₊ | x+y = |x|+|y|}, г) f = {(x; y)  R₊R₊ | y = x+|y|},

д) f = {(x; y)  R[0; 1] | y = cos x + sin x}.

3. Равны ли следующие функции:

а) f : R  R, f(x) = sin x и g : R  [–1; 1], g(x) = sin x,

б) f : R  R, f(x) = x и g : R  R, g(x) = e ^{ln x},

в) f : R  {0}, f(x) = 0 и g : R  {0}, g(x) = cos(arc cos x),

г) f : R  R, f(x) = и g : R  R, g(x) = cos(arc sin x) ?