Порядок на кардиналах
Используемое выше
словосочетание “промежуточный кардинал”
предполагает, конечно, упорядочивание
кардиналов. Порядок вводится естественным
образом: если
=
,
=
– два кардинала, то, как известно, может
выполняться одно из трёх условий|A|
< |B|,
|A|
= |B|,
|A|
> |B|,
в соответствии с которыми полагают
< ,
= ,
>
. Ясно, что
это определение не зависит от выбора
представителей: если
=
,
=
, то по определению классов эквивалентности,C
~ A,
D
~ B,
т.е. |C|
= |A|,
|D|
= |B|,
и отношение порядка между |C|
и |D|
будет таким же, как между |A|
и |B|.
Легко понять, что введённое бинарное отношение на множестве Card(U) действительно является отношением линейного порядка, т.е.
рефлексивно: ( Card(U) ),
транзитивно: ( , , Card(U) ( ) ( ) ( )),
антисимметрично: (( , Card(U) ( ) ( ) ( = )),
линейность: ( , Card(U) ( < ) ( = ) ( > )).
Это сразу следует из доказанных выше соответствующих свойств для мощностей множеств.
Оказывается, что
порядок на кардиналах является полным,
т.е. любое множество кардиналов содержит
наименьший элемент. Для этого используется
аксиома выбора в форме теоремы Цермелло
(глава I,
§ 7, теорема об эквивалентных формулировках
аксиомы выбора). Таким образом, каждый
=
кардинал
можно считать связанным с в.у.м. (A
).
Если (A < ), (B, ) – два л.у.м., то назовём A начальным отрезком B, если существует инъекция : A B со свойствами:
b B (b (A)) ( x A (x) b), x, y A (x < y) ((x) (y)).
Первое условие означает, что множество (A) не имеет предшественников в B, а второе – что отображение сохраняет порядок.
Если биективно, то множества A и B назовём подобными.
Лемма (трихотомия вполне упорядоченных множеств). Для любых вполне упорядоченных множеств (A, < ) и (B, ) реализуется ровно одна из трёх возможностей: A – начальный отрезок B, A подобно B, B – начальный отрезок A.
Доказательство. Начнём строить отображение : A B, сохраняющее порядок. Выберем во множествах A и B наименьшие элементы a и b соответственно и положим (a) = b. Таким образом, задано отображение начальных отрезков : {a} {b}. Пусть отображение : OA OB уже построено для начальных отрезков OA A, OB B. Если OA = A, то A – начальный отрезок B. Если OB = B, то отображение –1 : B OA даёт основание утверждать, что B – начальный отрезок A. Если же A \ OA B \ OB , то в этих множествах есть наименьшие элементы u и v, так, что можно расширить отображение : OA {u} OB {v}, полагая (u) = v. Ясно, что сохраняет порядок и отображает начальный отрезок множества A на начальный отрезок множества B.
Таким образом, либо будет постоено искомое вложение : A OB B, либо вложение –1 : B OA A, либо биекция : A B.
Лемма доказана.
Замечание: Проведённое доказательство не вполне строго, хотя и адекватно отражает суть дела. Нужно рассматривать тройки ( , D(), Im()), введя на них частичный порядок (большая тройка как функция продолжает меньшую), доказать, что у каждой возрастающей цепи троек есть верхняя грань, и воспользовавшись леммой Цорна, найти максимальный элемент, который будет иметь один из трёх видов ( , A, OB), ( , OA , B), ( , A , B). Подобные рассуждения проведены в доказательстве теоремы об эквивалентных формулировках аксиомы выбора (глава I, § 7).
Теорема (о полном порядке на множестве кардинальных чисел). Введённый линейный порядок на множестве Card(U) кардинальных чисел универсума U является полным, т.е. любое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Доказательство. Воспользуемся леммой:
Лемма (критерий полной упорядоченности). Линейно упорядоченное множество (А, ) вполне упорядочено отношением тогда и только тогда, когда не существует бесконечной строго убывающей цепочки
а1 > а2 > … > аn > …
Доказательство. () Пусть вначале л.у.м. (А, ) вполне упорядочено, т.е. каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент. Это сразу показывает, что в А не может быть бесконечной строго убывающей цепочки а1 > а2 > … > аn > … , т.к. во множестве {a1 , a2 , … , an , … } нет наименьшего элемента.
() Обратно, пусть в А нет бесконечных строго убывающих цепочек а1 > > а2 > … > аn > … . Докажем, что каждое непустое подмножество в А имеет наименьший элемент. Если в M A нет наименьшего элемента, то выберем произвольный элемент m1 M . Поскольку он не наименьший, то найдётся m2 < m1 . Продолжая этот процесс и пользуясь аксиомой выбора (?!), построим цепочку m1 > m2 > … > mn > … – противоречие.
Лемма доказана.
Применим доказанный критерий к л.у.м. (Card(U), ). Предположим, что существует цепь кардиналов 1 > 2 > … > n > … . При этом каждое множество i (i N) можно считать в.у.м. По лемме о трихотомии для в.у.м. для любых соседних кардиналов i , i+1 выполнено одно из двух (?!): либо i – собственный отрезок i+1 , либо i+1 – собственный отрезок i . Ввиду определения порядка > , получаем |i+1| < |i| , а значит, i не может быть собственным отрезком i+1 (?!). Значит, i+1 – собственный отрезок i , и можно считать, что i+1 i (отождествляя элемент x i+1 с элементом (x) i при отображении : i+1 i ). Таким образом, все множества 2 , 3 , … , n , … – начальные отрезки в в.у.м. 1 . Выберем, пользуясь аксиомой выбора, элементы mi i \ i+1 (i N). Тогда m1 m2 … mn … – бесконечная убывающая цепь в в.у.м. (1 , ) – противоречие.
Теорема доказана.